动态几何与函数问题的总结
【前言】
在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中减少复杂性增大灵活性的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】
如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与 轴负半轴上.过点B、C作直线 .将直线 平移，平移后的直线 与 轴交于点D，与 轴交于点E.
(1)将直线 向右平移，设平移距离CD为 (t0)，直角梯形OABC被直线 扫过的面积(图中阴影部份)为 ， 关于 的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.
(2)当 时，求S关于 的函数解析式.
【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当 时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。
【解】
(1)由图(2)知， 点的坐标是(2，8)
由此判断： ;
∵ 点的横坐标是4， 是平行于 轴的射线，
直角梯形 的面积为： ..... (3分)
(2)当 时，
阴影部分的面积=直角梯形 的面积 的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)
∵
.
.
【例2】
已知：在矩形 中， ， .分别以 所在直线为 轴和 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 是边 上的一个动点(不与 重合)，过 点的反比例函数 的图象与 边交于点 .
(1)求证： 与 的面积相等;
(2)记 ，求当 为何值时， 有最大值，最大值为多少?
(3)请探索：是否存在这样的点 ，使得将 沿 对折后， 点恰好落在 上?若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.
【解析】
(1)证明：设 ， ， 与 的面积分别为 ， ，
由题意得 ， .
， .
，即 与 的面积相等.
(2)由题意知： 两点坐标分别为 ， ， (想不到这样设点也可以直接用X去代入,麻烦一点而已)
，
.
当 时， 有最大值.
.
(3)解：设存在这样的点 ，将 沿 对折后， 点恰好落在 边上的 点，过点 作 ，垂足为 .
由题意得： ， ， ，
， .
又 ，
.(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)
， ，
.
， ，解得 .
.
存在符合条件的点 ，它的坐标为 .
【例3】
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。
(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?
(3)是否存在时刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由。
【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q运动时，△BPQ的高的长度始终不变，即为CD长，所以只需关注变化的底边BQ即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量高，过Q做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ和△BCD是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。
【解析】
解： (1)如图1，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。
PM=DC=12
∵QB=16-t，S= 12(16-t)=96-t
(2)由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。热以B、P、Q三点
为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ=BQ。在Rt△PMQ中， ，由PQ2=BQ2
得 ，解得t= ;
②若BP=BQ。在Rt△PMB中， 。由BP2=BQ2 得：
即 。
由于=-7040
无解，PBBQ
③若PB=PQ。由PB2=PQ2，得
整理，得 。解得 (舍)(想想看为什么要舍?函数自变量的取值范围是多少?)
综合上面的讨论可知：当t= 秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
(3)设存在时刻t，使得PQBD。如图2，过点Q作QEADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，
得 ，即 。解得t=9
所以，当t=9秒时，PQBD。
【例4】
在Rt△ABC中，C=90，AC = 3，AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t0).
(1)当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形?若能，求t的值.若不能，请说明理由;
(4)当DE经过点C 时，请直接写出t的值.
【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE保持垂直平分PQ这一条件，然后判断t可能的范围.因为给出了AC和CB的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB和PQ//BC都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解.
解：(1)1， ;
(2)作QFAC于点F，如图3， AQ = CP= t， .
由△AQF∽△ABC， ，
得 . .
，
即 .
(3)能.
①当DE∥QB时，如图4.
∵DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形.
此时AQP=90.
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
②如图5，当PQ∥BC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形.
此时APQ =90.
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 . 解得 .
(4) 或 .
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C.
方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图6.
， .
由 ，得 ，解得 .
方法二、由 ，得 ，进而可得
，得 ， . .
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7.
，
【例5】
如图，在 中， ， ， ， 分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作 于 ，过点 作 交 于
，当点 与点 重合时，点 停止运动.设 ， .
(1)求点 到 的距离 的长;
(2)求 关于 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点 ，使 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的 的值;若不存在，请说明理由.
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH的长度实际上就是后面PQ的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ和QC所在的△QRC和△BAC是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
解：(1) ， ， ， .
点 为 中点， .
， .
，
， .
(2) ， .
， ，
， ，
即 关于 的函数关系式为： .
(3)存在，分三种情况：
①当 时，过点 作 于 ，则 .
， ，
.
， ，
， .
②当 时， ，
.
③当 时，则 为 中垂线上的点，
于是点 为 的中点，
.
，
， .
综上所述，当 为 或6或 时， 为等腰三角形.
【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。
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