因式分解公式是什么

2024-05-17 好文

　　因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。下面是小编整理的因式分解公式是什么，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

　　因式分解的定义

　　把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

　　因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

　　因式分解常用公式

　　1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。

　　2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

　　3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。

　　4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。

　　5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。

　　6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。

　　7、三项完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。

　　8、三项立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。

　　因式分解方法

　　1、提公因式法

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。

　　具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

　　基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式；

　　①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

　　②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

　　口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

　　2、公式法

　　如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

　　3、十字相乘法

　　十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

　　口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。（拆两头，凑中间）

　　（1）用十字相乘法分解二次项，得到一个十字相乘图（有两列）；

　　（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

　　（3）先以一个字母的一次系数分数常数项；

　　（4）再按另一个字母的一次系数进行检验；

　　（5）横向相加，纵向相乘。

　　4、轮换对称法

　　当题目为一个轮换对称式时，可用轮换对称法进行分解。

　　5、分组分解法

　　通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，这种分解因式的方法叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

　　6、拆添项法

　　把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解，这种分解因式的方法叫做拆项补项法。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　7、配方法

　　对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种分解因式的方法叫做配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

　　相关结论

　　基本结论：分解因式为整式乘法的逆过程。

　　高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易。

　　1）因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。

　　2）所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。

　　3）因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。

　　4）因式分解是很困难的，初中所接触的只是因式分解很简单的一部分。

　　分解一般步骤

　　1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；

　　这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

　　2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；

　　要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

　　3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

　　口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。

　　因式分解公式法讲解

　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)