除法小知识

2024-03-04 好文

  在我们的学习时代,是不是经常追着老师要知识点?知识点有时候特指教科书上或考试的知识。为了帮助大家掌握重要知识点,以下是小编帮大家整理的除法小知识,欢迎大家分享。

  除号的由来

  除号“÷”是除法符号,表示相除。

  用这个符号表示除法首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中。几年以后,该书被译成英文,才逐渐被人们认识和接受。

  谈记数法

  同学们,你知道记数法的演变吗,你知道“千”、“百”等记数单位的由来吗?

  我们追溯到五千到八千年前看一看,这时,四大文明古国都早已从母系社会过渡到父系社会了,生产力的发展导致国家雏形的产生,生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要。比如某个原始国家组织了一支部队,国王陛下总不能老是说:“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵!”于是,慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号。在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人。在商周的青铜器上也刻有一些大的数字。以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位。

  而在古罗马,最大的记数单位只有“千”。他们用M表示一千。“三千”则写成“MMM”。“一万”就得写成“MMMMMM-MMMM”。真不敢想象,如果他们需要记一千万时怎么办,难道要写上一万个M不成?

  总之,人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的。在古印度,使用了一系列大数单位后,最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”。是呀,恒河中的沙子你数得清吗!

  然而,古希腊有一位伟大的学者,他却数清了“充满宇宙的沙子数”,那就是阿基米德。他写了一篇论文,叫做《计沙法》,在这篇文章中,他提出的记数方法,同现代数学中表示大数的方法很类似。他从古希腊的最大数字单位“万”开始,引进新数“万万(亿)”作为第二阶单位,然后是“亿亿”(第三阶单位),“亿亿亿”(第四阶单位)等等,每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍。

  阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10,000,000,000斯塔迪姆(1斯塔迪姆=188米),这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多,这才仅仅是太阳到土星的距离。阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子。然后开始计算这些沙子的数目。最后他写道:

  “显然,在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数,不会超过一千万个第八阶单位。”如果要把这个沙子的数目写出来,就是10,000,000×(100,000,000)7或者就得在1后边写上63个0:1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。这个数,我们现在可以把它写得简单一些:即写成1×1063。而这种简单的写法,据说是印度某个不知名的数学家发明的。

  现在,我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数,例如:32,000,000就可记为3.2×107,而0.0000032则可记为3.2×10-6。这种用在1与10间的一个数乘以10的若干次幂的记数方法就是“科学记数法”。这种记数法既方便,又准确,又简洁,还便于进行计算,所以得到了广泛的使用。

  整数的诞生

  公共汽车上,有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边,她正在教她的小宝宝数数呢。她伸出一个手指问:“这是几呀?”正在咿呀学语的小孩望了望妈妈,答道:“一”。妈妈伸出了两个手指问:“这是几呀?”小孩想了想答道:“二”。妈妈又伸出三个手指,小孩犹豫了好一阵,回答:“三。”再伸四个手指时,小孩答不出来了。在这个小孩看来,那些手指实在太多了,他已经数不清了。其实,能数到三,对一个黄口孺子来说,已经很不简单了。

  要知道,学会数数,那可是人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。如果我们穿过“时间隧道”来到二、三百万年前的远古时代,和我们的祖先--类人猿在一起,我们会发现他们根本不识数,他们对事物只有“有”与“无”这两个数学概念。类人猿随着直立行走使手脚分工,通过劳动逐步学会使用工具与制造工具,并产生了简单的语言,这些活动使类人猿的大脑日趋发达,最后完成了由猿向人的演化。这时的原始人虽没有明确的数的概念,但已由“有”与“无”的概念进化到“多”与“少”的概念了。“多少”比“有无”要精确。这种概念精确化的过程最后就导致“数”的产生。

  上古的人类还没有文字,他们用的是结绳记事的办法(《周易》中就有“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”的记载)。遇事在草绳上打一个结,一个结就表示一件事,大事大结,小事小结。这种用结表事的方法就成了“符号”的先导。长辈拿着这根绳子就可以告诉后辈某个结表示某件事。这样代代相传,所以一根打了许多结的绳子就成了一本历史教材。本世纪初,居住在琉球群岛的土著人还保留着结绳记事的方法。而我国西南的一个少数民族,也还在用类似的方法记事,他们的首领有一根木棍,上面刻着的道道就是用于记事的。

  又经过了很长的时间,原始人终于从一头野猪,一只老虎,一把石斧,一个人,……这些不同的具体事物中抽象出一个共同的数字--“1”。数“1”的出现对人类来说是一次大的飞跃。人类就是从这个“1”开始,又经过很长一段时间的努力,逐步地数出了“2”、“3”,对于原始人来说,每数出一个数(实际上就是每增加一个专用符号或语言)都不是简单的事。直到本世纪初,人们还在原始森林中发现一些部落,他们数数的本领还很低。例如在一个马来人的部落里,如果你去问一个老头的年龄,他只会告诉你:“我8岁”。这是怎么回事呢?因为他们还不会数超过“8”的数。对他们来说,“8”就表示“很多”。有时,他们实在无法说清自己的年龄,就只好指着门口的棕榈树告诉你:“我跟它一样大。”

  这种情况在我国古代也曾发生并在古汉语中留下了痕迹。比如“九霄”指天的极高处,“九派”泛指江河支流之多,这说明,在一段时期内,“九”曾用于表示“很多”的意思。

  总之,人类由于生产、分配与交换的需要,逐步得到了“数”,这些数排列起来,可得1,2,3,4,……,10,11,12,……这就是自然数列。

  可能由于古人觉得,打了一只野兔又吃掉,野兔已经没有了,“没有”是不需要用数来表示的。所以数“0”出现得很迟。换句话说,零不是自然数。

  后来由于实际需要又出现了负数。我国是最早使用负数的国家。西汉(公元前二世纪)时期,我国就开始使用负数。《九章算术》中已经给出正负数运算法则。人们在计算时就用两种颜色的算筹分别表示正数和负数,而用空位表示“0”,只是没有专门给出0的符号。“0”这个符号,最早在公元五世纪由印度人阿尔耶婆哈答使用。

  到这时候,“整数”才完整地出现了。

  求被除数类

  同余加余,同差减差。

  例1.某数被7除余6,被5除余3,被3除余3,求此数最小是多少?

  解:因为“被5除余3,被3除余3”中余数相同,即都是3(同余),所以要先求满足5和3的最小数,[5、3]=15,

  15+3=18,

  18÷7=2……4不余6,(不对)

  15×2=30

  (30+3)÷7=4……5不余6(不对)

  (15×3+3)÷7=6……6(对)

  所以满足条件的最小数是48。

  例2.某数被3除余2,被5除余4,被7除余5,这个数最小是多少?

  解:因为“被3除余2,被5除余4”中都差1就可整除,即同差,所以要先满足5和3的最小数,[5、3]=15,15-1=14,

  14÷7=2……0不余5(不对)

  (15×6-1)÷7=12……5

  所以满足条件的最小数是89。

  例3.一个四位数,它被131除余112,被132除余98,求这个四位数?

  解:除数相差132-131=1,余数相差112-98=14,说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。

  求除数类

  1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。

  例1.一个数去除551,745,1133这3个数,余数都相同。问这个数最大可能是几?

  解:745-551=194,1133-745=388。(194,388)=194,所以这个数最大是194。

  2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2, r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。

  例2.有一个整数,用它分别去除157,234和324,得到的三个余数之和是100。求这个整数?

  解:157+324+234-100=615,615=3×5×41。100÷3=33……1,即最小的除数应大于34,小于157。所以满足条件的有41、123两个,经过验算可知正确答案为41。

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