一、选择题
1.(2009重庆理)直线与圆的位置关系为( ).
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
考查目的:考查直线与圆的位置关系的判定.
答案:B.
解析:圆心(0,0)到直线(即)的距离,而,∴直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.
2.(2009辽宁理)已知圆C与直线及都相切,圆心在直线上,则圆C的方程为( ).
A. B.
C. D.
考查目的:考查直线和圆的位置关系,以及求圆的方程.
答案:B.
解析:设圆C圆心的坐标为(,),由点到直线的距离公式得,解得,圆C的圆心为(1,-1),半径为,方程为.本题也可以用验证法.
3.(2012广东文)在平面直角坐标系中,直线与圆相交于A、B两点,则弦AB的长等于( ).
A. B. C. D.1
考查目的:考查直线与圆相交所得弦长的求法.
答案:B.
解析:圆的圆心坐标为(0,0),它到弦所在直线的距离为,由垂径定理得,AB的长等于.
二、填空题
4.(2010天津文)已知圆C的圆心是直线与轴的交点,且圆C与直线相切,则圆C的方程为______ __.
考查目的:考查利用直线与圆相切的性质求圆的方程的方法.
答案:.
解析:直线与轴的交点为(-1,0).∵直线与圆C相切,∴圆心C到直线的距离等于半径,即,∴圆C的方程为.
5.(2009四川理)已知直线与圆,则圆上各点到直线距离的最小值为 .
考查目的:考查圆与直线的位置关系的判断,以及圆上任意一点到一条直线距离最小值的求法.
答案:.
解析:∵圆C的圆心(1,1)到直线的距离为(圆C的半径),∴圆C与直线相离,∴圆C上任意一点到直线的距离的最小值等于圆心C到直线的距离减去半径,答案应填.
6.(2011湖北)过点(-1,-2)的直线被圆C:截得的弦长为,则直线的斜率为 .
考查目的:考查直线与圆的'位置关系及其应用.
答案:1或.
解析:∵圆C的方程可化为,∴其圆心为(1,1),半径为1.由经过点(-1,-2)的直线被圆C所截,则直线的斜率必须存在,设其斜率为,则直线的方程为,∴圆心到直线的距离,依题意得,解得或.
三、解答题
7.自点(-3,3)发出的光线射到轴上,被轴反射后,其反射线所在直线与圆
相切,求光线所在的直线方程.
考查目的:考查光线反射的有关性质,直线和圆的位置关系和性质,以及转化化归和数形结合的思想.
答案:,或.
解析:已知圆的标准方程是,它关于轴的对称圆的方程是.由题意知,光线所在直线的斜率存在.设光线所在的直线方程是.由题设知,对称圆的圆心(2,-2)到这条直线的距离等于1,即,整理得,解得或,∴所求直线方程是,或,即,或.
8.(2011全国课标)在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
⑴求圆C的方程;
⑵若圆C与直线交于A,B两点,且,求的值.
考查目的:考查圆的方程的求法,直线与直线、直线与圆的位置关系的综合应用.
答案:⑴;⑵.
解析:⑴曲线与坐标轴的交点为(0,1),(),由题意可设圆C的圆心坐标为(3,),∴,解得,∴圆C的半径为,∴圆C的方程为.
⑵设点A、B的坐标分别为A,B,其坐标满足方程组,消去得到方程.由已知得,判别式①;由根与系数的关系得,②.由得.又∵,,∴可化为③.将②代入③解得,经检验,满足①,即,∴.
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