高中数学函数的应用综合检测试题

2021-06-10 试题

　　第3章函数的应用综合检测试题（含解析新人教A版必修1）

　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

　　第Ⅰ卷(选择题共60分)

　　一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　1．(2013～2014学年度河北孟村回民中学月考试题)若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)＜0，f(a)f(a＋b2)＞0.则()

　　A．f(x)在[a，a＋b2]上有零点 B．f(x)在[a＋b2，b]上有零点

　　C．f(x)在[a，a＋b2]上无零点 D．f(x)在[a＋b2，b]上无零点

　　[答案] B

　　[解析] 由已知，易得f(b)f(a＋b2)＜0，因此f(x)在[a＋b2，b]上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．

　　2．函数y＝1＋1x的零点是()

　　A．(－1,0) B．x＝－1

　　C．x＝1 D．x＝0

　　[答案] B

　　3．下列函数中，增长速度最快的是()

　　A．y＝20x B．y＝x20

　　C．y＝log20x D．y＝20x

　　[答案] D

　　4．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0(－1,1)，那么b的取值范围是()

　　A．(－2,2) B．(－1,1)

　　C．(－12，12) D．(－1,0)

　　[答案] A

　　[解析] f(x)＝2x－b＝0，得x0＝b2，

　　所以b2(－1,1)，所以b(－2,2)．

　　5．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()

　　A．－1 B．0

　　C．－1和0 D．1和0

　　[答案] C

　　[解析] 由条件知f(－1)＝0，b＝a，g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.

　　6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(xR)的部分对应值如下表：

　　x －3 －2 －1 0 1 2 3 4

　　y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6

　　由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是()

　　A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)

　　C．(－1,1)和(1,2) D．(－，－3)和(4，＋)

　　[答案] A

　　[解析] ∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，

　　f(－3)f(－1)＜0.

　　∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，

　　f(2)f(4)＜0.方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．

　　7．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝3，f(2)＝－5，f(32)＝9，则下列结论正确的是()

　　A．x0(1，32) B．x0＝－32

　　C．x0(32，2) D．x0＝1

　　[答案] C

　　[解析] 由于f(2)f(32)＜0，则x0(32，2)．

　　8．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：

　　x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00

　　y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02

　　则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()

　　A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx

　　C．y＝ax2＋b D．y＝a＋bx

　　[答案] B

　　[解析] 代入数据检验，注意函数值．

　　9．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是()

　　A．该二次函数的零点都小于k

　　B．该二次函数的零点都大于k

　　C．该二次函数的两个零点之间差一定大于2

　　D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内

　　[答案] D

　　[解析] 由题意得f(k－1)f(k)＜0，f(k)f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．

　　10．(2013～2014山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下

　　x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125

　　f(x) －1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151

　　那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为()

　　A．1.2 B．1.3125

　　C．1.4375 D．1.25

　　[答案] B

　　[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且

　　1．375－1.3125＜0.1，故选B.

　　11．(2013～2014河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是()

　　[答案] D

　　12．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为()

　　A．y＝2x B．y＝4－4x＋1

　　C．y＝log3(x＋1) D．y＝x13 (x0)

　　[答案] B

　　[解析] 由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，选B.

　　第Ⅱ卷(非选择题共90分)

　　二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

　　13．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．

　　[答案] 3

　　[解析] 代入x＝0得m＝－3.

　　f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3

　　因此另一个零点为3.

　　14．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．

　　[答案] (2,3)

　　[解析] 设f(x)＝x3－3x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．

　　15．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2013，则x1＋x2＋…＋x2013＝________.

　　[答案] 0

　　[解析] 由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.

　　16.已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

　　①有三个实根；

　　②x＞1时恰有一实根；

　　③当0＜x＜1时恰有一实根；

　　④当－1＜x＜0时恰有一实根；

　　⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

　　[答案] ①⑤

　　[解析] f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．

　　三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

　　17．(本小题满分10分)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

　　[解析] 解法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0，

　　函数f(x)在区间(0,2)上必定存在零点．

　　又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋)上为增函数，故函数f(x)有且只有一个零点．

　　解法二：在同一坐标系内作出函数h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图所示，由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

　　18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的'份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

　　[解析] 设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有

　　y＝0.10(20x＋10250)－0.1510(x－250)

　　＝0.5x＋625，x[250,400]．

　　该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．

　　答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

　　19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

　　销售价x(元/件) 650 662 720 800

　　销售量y(件) 350 333 281 200

　　由此可知，销售量y(件)与销售价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．

　　试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．

　　[解析] 由表可知350＝650k＋b，200＝800k＋bk＝－1，b＝1000，

　　故y＝－x＋1000.

　　设1月份利润为W，则

　　W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－492000＝－(x－746)2＋64516，

　　当x＝746，Wmax＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．

　　20．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．

　　[解析] 显然f(2)＝23＋22－22－2＝6＞0.

　　当x＞2时f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，

　　故f(x)在(1,2)区间内有零点.

　　区间中点值中点函数值

　　[1,2] 1.5 0.625

　　[1,1.5] 1.25 －0.984

　　[1.25,1.5] 1.375 －0.260

　　[1.375,1.5] 1.438 0.165

　　[1.375,1.438]

　　因为|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点为x＝1.4.

　　21．(本小题满分12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(1540)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(1540)．

　　(1)求f(x)和g(x)；

　　(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？

　　[解析] (1)f(x)＝5x(1540)；

　　g(x)＝90，1530，2x＋30，30＜x40.

　　(2)由f(x)＝g(x)，得1530，5x＝90或30＜x40，5x＝2x＋30，

　　即x＝18或x＝10(舍)．

　　当15x＜18时，f(x)－g(x)＝5x－90＜0，

　　即f(x)＜g(x)，应选甲家；

　　当x＝18时，f(x)＝g(x)，即可以选甲家也可以选乙家．

　　当18＜x30时，f(x)－g(x)＝5x－90＞0，

　　即f(x)＞g(x)，应选乙家．

　　当30＜x40时，