奥数计算试题答案解析:归纳法

2021-06-10 试题

　　1.用数学归纳法证明"当n为正偶数为xn-yn能被x+y整除"第一步应验证n=__________时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成_____________________.

　　2. 数学归纳法证明3能被14整除的过程中,当n=k+1时,3应变形为____________________.

　　3. 数学归纳法证明 1+3+9+…+3

　　4.求证 n能被9整除.

　　答案：

　　1. x2k-y2k能被x+y整除

　　因为n为正偶数,故第一值n=2,第二步假设n取第k个正偶数成立,即n=2k,故应假设成x2k-y2k能被x+y整除.

　　2.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2

　　当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2

　　3.证明(1)当n=1时,左=1,右=(31-1)=1,命题成立.

　　(2)假设n=k时,命题成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),则当n=k+1时,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命题成立.

　　4.证明(1)当n=1时,13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.

　　(2)假设n=k时成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当k=n+1时

　　(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除

　　由(1),(2)可知原命题成立.

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