[摘 要]高中数学的重点章节,对函数性质的考察一直是高考的热点。学生在此之前已经对函数的对称性和周期性有了初步的理解,但是认识比较肤浅,缺乏全面深入的研究。
[关键词]抽象函数 周期性 单调性 奇偶性
做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性。而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题。
预备知识:对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)=f(x)总成立,则f(x)是周期函数。T是f(x)的一个周期,若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。
一、函数的对称性
定理1.若函数y=f (x)定义域为R,且满足条件:f (a+x)=f (b-x),则函数y=f (x)的图象关于直线x=对称。
推论1.若函数y=f (x)定义域为R,且满足条件:f (a+x)=f (a-x)
(或f (2a-x)= f (x) ),则函数y=f (x)的图像关于直线x= a对称。
定理2.若函数y=f (x)定义域为R,且满足条件:f (a+x)+f (b-x)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f (x)的图象关于点对称。
推论1.若函数y=f (x)定义域为R,且满足条件:f (a+x)+f (a-x)=0,(a为常数),则函数y=f (x)的图象关于点(a,0)对称。
二、抽象函数周期的求法
由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决,大致分为以下几个类型:
1.型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b)
分析:用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即f(x)=f[x+(b-a)]所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。
2.型如f(x)=-f(x+a)(a≠0)
分析:条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换得f(x+a)=-f(x+2a),则所以f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。
3.型如f(x)= (a≠0)
分析:与上一类型相仿用替换和代入的`方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x用x+a替换得f(x+a)= ,则f(x+2a)= =f(x)
所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.
从以上可发现求周期,主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.
三、抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系
2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用。
1.设条件A:定义在R上的函数f(x)是一个偶函数。条件B:f(x)关于x=a对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个。证明:①已知A、B→C(2001年高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函数看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢?经分析可得:
2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称,则f(x)是周期函数,4a是其一个周期。证明:∵定义在R上的奇函数f(x)∴f(-x)=-f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a)(替换+代入)故f(x)是周期函数,4a是其一个周期。奇函数本身是一个中心对称图形,关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称,再加对称性是否也可推出周期性吗?经分析可得:
3.f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称(a≠b),则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢?
4.定义在R上的f(x)关于(a、0)和(b、0)都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a)是一个周期。证明:∵定义在R上的f(x)关于(a、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)又∵定义在R上的f(x)关于(b、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)∴f(x)是周期函数且2(b-a)是其一个周期将原条件换成关于x=a,x=b对也行,结论成立。综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密,灵活运用可简化题目难度。
例1.f(x)是R上的奇函数f(x)=-f(x+3),x∈[0,3/2]时f(x)=x,则f(2003)=?解:方法一∵f(x)=-f(x+3)(替换、代入)∴f(x)=f(x+6)∴6是f(x)的一个周期f(x)∴f(2003)=f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1方法二∵f(x)=-f(x+3),f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+3)∴f(x)关于x=3/2对称又∵f(x)是奇函数∴6是f(x)的一个周期,以下与方法一相同。
例2.f(x)是R上的偶函数,f(1-x)=f(x+1),x∈[-1,0]时f(x)=Log0.5(-x)则f(2003)=?解:∵f(x)是偶函数,f(1-x)=f(x+1)(即f(x)关于x=1对称)∴根据结论1得2是f(x)的一个周期∴f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)=Log0.5(1)=0
例3.f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。求a的值。解:∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于(3,0)对称∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴根据结论3得8是f(x)的一个周期∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6
利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法,此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题。
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