《抛物线及其标准方程》教案

2024-08-10

　　教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。

　　《抛物线及其标准方程》教案篇1

　　一、目标

　　1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程

　　2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程

　　3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

　　二、重点

　　抛物线的定义及标准方程

　　三、教学难点

　　抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

　　四、教学过程

　　（一）复习旧知

　　在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。

　　例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：

　　（二）讲授新课

　　1.课题引入

　　在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？

　　这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）

　　2.抛物线的定义

　　信息技术应用（课堂中展示画图过程）

　　先看一个实验：

　　如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）

　　可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M与定点F和定直线的距离相等。（也可以用几何画板度量MH，MF的值）

　　（定义引入）：

　　我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。（板书）

　　思考？若F在上呢？（学生思考、讨论、画图）

　　此时退化为过F点且与直线垂直的一条直线.

　　3.抛物线的标准方程

　　从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

　　要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。

　　问题设焦点F到准线的距离为，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程。

　　（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）

　　注意：

　　1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。

　　2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算。

　　3.强调P的意义。

　　4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的.点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程。

　　（选择标准方程）

　　师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？

　　（学生选择，说明1.对称轴2.焦点3.方程无常数项，顶点在原点）

　　推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=—。

　　设动点M（x,y），由抛物线定义得：

　　化简得y2=2px(p＞0)

　　师：我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。

　　师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

　　（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）

　　图形标准方程焦点坐标准线方程

　　y2=2px(p＞0)

　　（,0）

　　x=—

　　y2=—2px(p＞0)

　　（—,0）

　　x2=2py(p＞0)

　　（0,）

　　y=—

　　x2=—2py(p＞0)

　　（0,—）

　　(三)例题讲解

　　例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程,

　　（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.

　　解：（1）∵抛物线方程为y2=6x

　　∴p=3，则焦点坐标是（，0），准线方程是x=—.

　　（2）∵焦点在y轴的负半轴上，且=2，∴p=4

　　则所求抛物线的标准方程是：x2=—8y.

　　变式训练1：

　　(1)已知抛物线的准线方程是x=—，求它的标准方程.

　　(2)已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.

　　解(1)∵焦点是F（0，3），∴抛物线开口向上，且=3，则p=6

　　∴所求抛物线方程是x2=12y

　　(2)∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=[高考XK]

　　则焦点坐标是F(—,0)，准线方程是x=

　　例2点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.

　　解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)

　　由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.

　　∵=4，∴p=8

　　因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.

　　变式训练2：

　　在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.

　　解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为PQ

　　由抛物线定义可知：PF=PQ

　　∴PF+PA=PQ+PA

　　显然当P、Q、A三点共线时，PQ+PA最小.

　　∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2

　　故点P的坐标为（2，2）.

　　(四)小结

　　1、抛物线的定义；

　　2、抛物线的四种标准方程；

　　3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.

　　《抛物线及其标准方程》教案篇2

　　知识目标：

　　1、掌握抛物线的定义和标准方程。

　　2、能根据抛物线的标准方程，写出它的焦点坐标和准线方程。

　　能力目标：

　　能根据简单的已知条件求抛物线的标准方程。

　　情感目标：

　　能根据老师的引导积极探索问题的规律。

　　教学重点：

　　分清抛物线四种标准方程、焦点坐标和准线方程。

　　教学难点：

　　利用抛物线的定义探索解决一些新问题。

　　教学方法及手段：

　　启发引导

　　教学过程：

　　一、课程引入

　　1、平面内与两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？

　　2、与两条相交直线的距离相等的点的轨迹是什么？

　　问：与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么？(学生探索)

　　教师flash课件演示（解释原理）

　　二、新课解析

　　1、定义：（板书课题）

　　平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹是抛物线。点F叫做抛物线的焦点。直线L叫抛物线的准线。

　　生活中的抛物线有哪些？太阳灶，抛射物体的运行轨道，二次函数的图象等。

　　但在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

　　2、推导抛物线的标准方程：（先复习求轨迹方程的方法和步骤；如何建系）

　　建立直角坐标系系，设|KF|=（>0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点M（x,y），则有化简方程得

　　3、抛物线标准方程：

　　方程叫做抛物线的标准方程

　　它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是说明：抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况。这四种抛物线的.图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下

　　图形

　　方程

　　焦点

　　准线

　　相同点：

　　(1)抛物线都过原点；

　　(2)对称轴为坐标轴；

　　(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称p是焦点到准线的距离

　　不同点：标准方程中一次项的变量决定焦点在哪条轴上，系数的”＋”，”－”决定焦点在正半轴还是负半轴

　　三、例题精讲

　　例1：

　　(1)已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程;

　　（2）已知抛物线的方程是y=－6×2，求它的焦点坐标和准线方程；

　　（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程。

　　例2：求经过点A（－3，2）的抛物线的标准方程。

　　思考题：（选做）

　　M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是?

　　四、课堂练习

　　1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

　　（1）焦点是F（3，0）；

　　（2）准线方程是x=－

　　（3）焦点到准线的距离是2。

　　2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

　　（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=0

　　（选做）

　　3、点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程

　　五、课堂小结

　　1、抛物线定义

　　2、抛物线四种形式的标准方程和图像；焦点准线的判定

　　3、求标准方程的方法（1）定义法；（2）待定系数法

　　六、作业布置

　　学案反面《课后作业》

　　七、教学设计说明

　　（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义。

　　（2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维—数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好。

　　（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们。