数学归纳法证明不等式学案
学案 4.1.1数学归纳法证明不等式
6、.用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求证：
8、已知， ， 用数学归纳法证明：
9、.求证：用数学归纳法证明 ．
答案:
1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：
10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n＝ 时命题成立) (归纳奠基） ；
20. 假设当n=时命题成立，证明当n=＋1时命题也成立(归纳递推）.
30. 由10、20知，对于一切n≥ 的自然数n命题都成立！(结论）
要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
例2 证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立
（2）假设n=(≥2)时，不等式成立，即 (1+x)>1+x
当n=+1时，因为x> -1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)+1 右边=1+(+1)x．
因为x2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)+1>1+(+1)x．
这就是说，原不等式当n=+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
例3 证明:⑴当 时,有 ，命题成立.
⑵设当 时，命题成立，即若 个正数 的乘积 ,
那么它们的和 .
那么当 时,已知 个正数 满足 .
若 个正数 都相等,则它们都是1.其和为 ,命题成立.
若这 个正数 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数
(否则与 矛盾).不妨设 .
例4证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立.
(2)假设n=( )时命题成立,即
则当n=+1时,
即当n=+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
例5（1）
练习
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=(≥2)时，
f()=(2+7)3+9能被36整除，则n=+1时，
f(+1)－f()=(2+9)3+1?－(2+7)3
=(6+27)3－(2+7)3
=(4+20)3=36(+5)3－2?(≥2)
f(+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的值等于36. 答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
4、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.
(2)假设当n=时,A能被8整除,即 是8的倍数.
那么:
因为A是8的倍数,3-1+1是偶数即4(3-1+1)也是8的倍数,所以A+1也是8的倍数,
即当n=+1时,命题成立.
由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.
5．证明： 1当n=1时，左边=1- = ，右边= = ，所以等式成立。
2假设当n=时，等式成立，
即 。
那么，当n=+1时，
这就是说，当n=+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n都成立。
6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=时，42+1+3+2能被13整除，则当n=+1时，
42(+1)+1+3+3=42+142+3+23－42+13+42+13
=42+113+3(42+1+3+2?)
∵42+113能被13整除，42+1+3+2能被13整除
∴当n=+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
7．证明：（1）当n=2时，右边= ，不等式成立．
（2）假设当 时命题成立，即 ．
则当 时，
所以则当 时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切 均成立．
8. 证明：
（1）当n=2时， ，∴命题成立．
（2）假设当 时命题成立，即 ．
则当 时，
所以则当 时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切 均成立．
9、证明：（1） 当n=1时， ，不等式成立；
当n=2时， ，不等式成立；
当n=3时， ，不等式成立．
（2）假设当 时不等式成立，即 ．
则当 时， ，
∵ ，∴ ，（*）
从而 ，
∴ ．
即当 时，不等式也成立．
由（1），（2）可知， 对一切 都成立．
5
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