公式法的教案

2024-04-18

关于公式法的教案范本

　　教学内容

　　1.一元二次方程求根公式的推导过程;

　　2.公式法的概念;

　　3.利用公式法解一元二次方程.

　　教学目标

　　理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.

　　复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.

　　重难点关键

　　1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.

　　2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.

　　教学过程

　　一、复习引入

　　(学生活动)用配方法解下列方程

　　(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52

　　(老师点评) (1)移项，得：6x2-7x=-1

　　二次项系数化为1，得：x2- x=-

　　配方，得：x2- x+( )2=- +( )2

　　(x- )2=

　　x- = x1= + = =1

　　x2=- + = =

　　(2)略

　　总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).

　　(1)移项;

　　(2)化二次项系数为1;

　　(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

　　(4 )原方程变形为(x+m)2=n的形式;

　　(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.

　　二、探索新知

　　如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

　　问题：已知ax2+b x +c=0(a0)且b2-4ac0，试推导它的两个根x1= ，x2=

　　分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

　　解：移项，得：ax2+bx=-c

　　二次项系数化为1，得x2+ x=-

　　配方，得：x2+ x+( )2=- +( )2

　　即(x+ )2=

　　∵b2-4ac0且4a20

　　0[来源:ZXXK]

　　直接开平方，得：x+ =

　　即x=

　　x1= ，x2=

　　由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a 、b、c而定，因此：

　　(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac0时，将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.

　　(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

　　(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

　　(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

　　例1.用公式法解下列方程.

　　(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2

　　(3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

　　分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.

　　解：(1)a=2，b=-4，c=-1

　　b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240

　　x1= ，x2=

　　(2)将方程化为一般形式

　　3x2-5x-2=0

　　a=3，b=-5，c=-2

　　b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490

　　x1=2，x 2=-

　　(3)将方程化为一般形式

　　3x2-11x+9=0

　　a=3，b=-11，c=9

　　b2-4ac=(-11)2-439=130

　　x1= ，x2=

　　(3)a=4，b=-3，c=1

　　b2-4ac=(-3)2-441=-70

　　因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根.

　　三、巩固练习

　　教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)

　　四、应用拓展

　　例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.

　　(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在?若存在，求出m并解此方程.

　　(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在，请求出.

　　你能解决这个问题吗?

　　分析：能.(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足(m+1)0.

　　(2)要使它为一元一次方程，必须满足:

　　① 或② 或③

　　解：(1)存在.根据题意，得：m2+1=2

　　m2=1 m=1

　　当m =1时，m+1=1+1=20

　　当m=-1时，m+1=-1+1=0(不合题意，舍去)

　　当m=1时，方程为2x2-1-x=0

　　a=2，b=-1，c=-1

　　b2-4ac=(-1)2-42 (-1)=1+8=9

　　x1=，x2=-

　　因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- .

　　(2)存在.根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

　　因为当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-1=-10

　　所以m=0满足题意.

　　②当m2+1=0，m不存在.

　　③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-30

　　所以m=-1也满足题意.

　　当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，

　　解得：x=-1

　　当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0

　　解得x=-

　　因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x= -1;当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- .

　　五、归纳小结

　　本节课应掌握：

　　(1)求根公式的概念及其推导过程;

　　(2)公式法的概念;

　　(3)应用公式法解一元二次方程;

　　(4)初步了解一元二次方程根的情况.

　　六、布置作业

　　1.教材P45 复习巩固4.

　　2.选用作业设计:

　　一、选择题

　　1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到( ).

　　A.x= B.x=

　　C.x= D.x=

　　2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).

　　A.x1= ，x2= B.x1=6，x2=

　　C.x1=2 ，x2= D.x1=x2=-

　　3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0，则m2-n2的值是( ).

　　A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

　　二、填空题

　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是________，条件是________.

　　2.当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4.

　　3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____.

　　三、综合提高题

　　1.用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

　　2.设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根，(1)试推导x1+x2=- ，x1(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

　　3.某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费.

　　(1)若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元?(用A表示)

　　(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

　　月份用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)

　　3 80 25

　　4 45 10

　　根据上表数据，求电厂规定的A值为多少?

　　答案:

　　一、1.D 2.D 3.C

　　二、1.x= ，b2-4ac0 2.4 3.-3

　　三、1.x= =a│b│

　　2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a0)的两根，

　　x1= ，x2=

　　x1+x2= =- ，

　　x1x2= =

　　(2)∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0

　　原式=ax13+bx12 +c1x1+ax23+bx22+cx2

　　=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)

　　3.(1)超过部分电费=(90-A) =- A2+ A

　　(2)依题意，得：(80-A) =15，A1=30(舍去)，A2=50

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