高中导数知识点总结

2024-05-22 总结

　　在我们平凡无奇的学生时代，大家都没少背知识点吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。哪些才是我们真正需要的知识点呢？以下是小编为大家收集的高中导数知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　导数的定义：

　　当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。

　　函数y=f(x)在x0点的导数f(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)] 点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

　　一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则：设y=f(x )在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。如果在(a，b)内，f(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f(x)=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值

　　求导数的步骤：

　　求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)

　　② 求平均变化率

　　③ 取极限，得导数。

　　导数公式：

　　① C=0(C为常数函数)；

　　② (x^n)= nx^(n—1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数

　　③ (sinx) = cosx； (cosx) = — sinx； (tanx)=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)=tanxsecx (cscx)=—cotxcscx (arcsinx)=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)=1/(1+x^2) (arccotx)=—1/(1+x^2) (arcsecx)=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)

　　④ (sinhx)=hcoshx (coshx)=—hsinhx (tanhx)=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)=—tanhxsechx (cschx)=—cothxcschx (arsinhx)=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)=1/(x^2—1) (|x|<1) xlna="">0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f(x)≥0。

　　(2)求函数单调区间的步骤(不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言？

　　1、定义最基础求法

　　2、复合函数单调性)

　　①确定f(x)的定义域；

　　②求导数；

　　③由(或)解出相应的x的范围。

　　当f(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数。

　　2.函数的极值

　　(1)函数的极值的判定

　　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；

　　②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。

　　3.求函数极值的步骤

　　①确定函数的定义域；

　　②求导数；

　　③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；

　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。

　　4.函数的最值

　　(1)如果f(x)在[a，b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念。

　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

　　①求f(x)在(a，b)内的极值；

　　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

　　5.生活中的优化问题

　　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题。

　　求导数的方法

　　（1）基本求导公式

　　（2）导数的四则运算

　　（3）复合函数的导数

　　设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即

　　关于极限

　　1、数列的极限：

　　粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：

　　2、函数的极限：

　　当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作

　　导数的概念

　　1、在处的导数。

　　2、在的导数。

　　3、函数在点处的导数的几何意义：

　　函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是

　　注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。

　　例、若=2，则=（）A—1B—2C1D

　　导数的综合运用

　　（一）曲线的切线

　　函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程。具体求法分两步：

　　（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=

　　（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。

　　高中导数知识点

　　一、理解并牢记导数定义

　　导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要同学们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：

　　(1)在某点的领域范围内。

　　(2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。

　　(3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。

　　(4)掌握导数定义的不同书写形式。

　　二、导数定义相关计算

　　已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。

　　三、导数、可微与连续的关系

　　函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。这也常常应用在做题中。

　　四、导数的计算

　　导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：

　　（1)基本的求导公式。指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。

　　（2)求导法则。求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式；复合函数要会写出它的复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数；反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。

　　（3)常见考试类型的求导。通常在考研中出现四种类型：幂指函数、隐函数、参数方程和抽象函数。这四种类型的求导方法要熟悉，并且可以解决他们之间的综合题，有时候也会与变现积分求导结合，94年，96年，08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目。

　　五、高阶导数计算

　　高阶导数的计算在历年考试出现过，比如03年，07年，10年，都以填空题考查的，00年是一道解答题。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了，也有通过求一阶导数，二阶，三阶的方法来找出他们之间关系的。这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的，00年出的题目就是考察的这两个知识点。

　　导数公式大全

　　1.y=c(c为常数) y=0

　　2.y=x^n y=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y=a^xlna

　　y=e^x y=e^x

　　4.y=logax y=logae/x

　　y=lnx y=1/x

　　5.y=sinx y=cosx

　　6.y=cosx y=-sinx

　　7.y=tanx y=1/cos^2x

　　8.y=cotx y=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx y=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y=1/1+x^2

　　12.y=arccotx y=-1/1+x^2

　　一、求导数的方法

　　(1)基本求导公式

　　(2)导数的四则运算

　　(3)复合函数的导数

　　设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即

　　关于极限

　　1.数列的极限：

　　粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：

　　2函数的极限：

　　当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作

　　导数的概念

　　1、在处的导数

　　2、在的导数

　　3.函数在点处的导数的几何意义：

　　函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是

　　注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。

　　例、若=2，则=（）A-1B-2C1D

　　导数的综合运用

　　(一)曲线的切线

　　函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率.由此，可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：

　　(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率k=；

　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为_。

　　第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0；偶次被开放式非负；真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

　　第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合；第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

　　第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

　　第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

　　第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<>

　　第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

　　第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

　　第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在使用导数求函数极值时，一定要对极值点进行仔细检查。

　　1.导数的定义：在点处的导数记作.

　　2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率

　　①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0，f(x0))切线斜率。V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。

　　3.常见函数的导数公式:①；②；③；

　　⑤；⑥；⑦；⑧。

　　4.导数的四则运算法则：

　　5.导数的应用：

　　(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；

　　注意：如果已知为减函数求字母取值范围，那么不等式恒成立。

　　(2)求极值的步骤：

　　①求导数；

　　②求方程的根；

　　③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值；

　　(3)求可导函数值与最小值的步骤：

　　ⅰ求的根；ⅱ把根与区间端点函数值比较，的为值，最小的是最小值。

　　导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!

　　导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。

　　导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

　　不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

　　对于可导的函数f(x)，x？f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

　　设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f(x0)，也记作y│x=x0或dy/dx│x=x0

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