求函数最值的方法总结

2021-03-31 总结

　　一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

　　函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的'几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

　　函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

　　最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

　　（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

　　①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。

　　②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。

　　③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）

　　④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。

　　（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。

　　①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。

　　②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。

　　③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。

　　④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。

　　综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法。因此，解题的关键在于认真分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，当然应该注意选择最优解法。

　　以上八种方法仅作为个人的一点愚见，仅是沧海一粟，希望在应用的时候千万不能按部就班，难免会遇到瓶颈，只有弄清其本质，在应用时才能取得事半功倍的效果。

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