高中数学基本的知识点总结

2023-09-28 知识点总结

　　在我们的学习时代，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家更高效的学习，下面是小编为大家整理的高中数学基本的知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　高中数学基本的知识点总结 1

　　空间几何体表面积体积公式：

　　1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）。

　　2、圆锥体：表面积：πR2+πR[（h2+R2）的]体积：πR2h/3（r为圆锥体低圆半径，h为其高。

　　3、a—边长，S=6a2，V=a3。

　　4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2（ab+ac+bc）V=abc。

　　5、棱柱S—h—高V=Sh。

　　6、棱锥S—h—高V=Sh/3。

　　7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3。

　　8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h（S1+S2+4S0）/6。

　　9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。

　　10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh（R^2—r^2）。

　　11、r—底半径h—高V=πr^2h/3。

　　12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh（R2+Rr+r2）/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6。

　　14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh（3a2+h2）/6=πh2（3r—h）/3。

　　15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3（r12+r22）+h2]/6。

　　16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4。

　　17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh（2D2+d2）/12，（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）/15（母线是抛物线形）。

　　高中数学基本的知识点总结 2

　　集合的分类：

　　（1）按元素属性分类，如点集，数集。

　　（2）按元素的个数多少，分为有/无限集

　　关于集合的概念：

　　（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

　　（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

　　（3）无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

　　集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：

　　含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

　　非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N。

　　在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或N_。

　　整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z。

　　有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q。（有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。）

　　实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R。（包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。）

　　1、列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{｝”内表示这个集合，例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为{0，1｝。

　　有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。

　　例如：不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，100｝。

　　无限集有时也用上述的列举法表示，例如，自然数集N可表示为{1，2，3，…，n，…｝。

　　2、描述法：一种更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。

　　例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质：“能被2整除，且大于0”

　　而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，因此，我们可以用上述性质把正偶数集合表示为{x∈R│x能被2整除，且大于0｝或{x∈R│x=2n，n∈N+｝，大括号内竖线左边的X表示这个集合的任意一个元素，元素X从实数集合中取值，在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质。

　　一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有的性质p（x），则性质p（x）叫做集合A的一个特征性质。于是，集合A可以用它的性质p（x）描述为{x∈I│p（x）｝它表示集合A是由集合I中具有性质p（x）的所有元素构成的，这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法。

　　例如：集合A={x∈R│x2—1=0｝的特征是X2—1=0

　　高中数学基本的知识点总结 3

　　空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

　　按是否共面可分为两类：

　　(1)共面：平行、相交

　　(2)异面：

　　异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

　　异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

　　两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法

　　两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

　　若从有无公共点的角度看可分为两类：

　　(1)有且仅有一个公共点——相交直线;

　　(2)没有公共点——平行或异面

　　直线和平面的位置关系：

　　直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

　　①直线在平面内——有无数个公共点

　　②直线和平面相交——有且只有一个公共点

　　直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

　　空间向量法(找平面的法向量)

　　规定：

　　a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，

　　b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

　　由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]

　　最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

　　三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

　　直线和平面垂直

　　直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

　　直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

　　直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。③直线和平面平行——没有公共点

　　直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

　　高中数学基本的知识点总结 4

　　（1）不等关系

　　感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

　　（2）一元二次不等式

　　①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

　　②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

　　③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

　　（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题

　　①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

　　②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组（参见例2）。

　　③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（参见例3）。

　　（4）基本不等式

　　①探索并了解基本不等式的证明过程。

　　②会用基本不等式解决简单的（小）值问题。

　　高中数学基本的知识点总结 5

　　轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。

　　一、求动点的轨迹方程的基本步骤。

　　1、建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

　　2、写出点M的集合；

　　3、列出方程=0；

　　4、化简方程为最简形式；

　　5、检验。

　　二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

　　1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

　　2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

　　3、相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

　　4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

　　5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

　　求动点轨迹方程的一般步骤：

　　①建系——建立适当的坐标系；

　　②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

　　③列式——列出动点p所满足的关系式；

　　④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

　　⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

　　高中数学基本的知识点总结 6

　　空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面。

　　按是否共面可分为两类：

　　（1）共面：平行、相交

　　（2）异面：

　　异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

　　异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

　　两异面直线所成的角：范围为（0°，90°）esp。空间向量法。

　　两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp。空间向量法。

　　若从有无公共点的角度看可分为两类：

　　（1）有且仅有一个公共点——相交直线；

　　（2）没有公共点——平行或异面。

　　直线和平面的位置关系：

　　直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行。

　　①直线在平面内——有无数个公共点

　　②直线和平面相交——有且只有一个公共点

　　直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

　　空间向量法（找平面的法向量）

　　规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角；b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。

　　由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。

　　最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

　　三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

　　直线和平面垂直

　　直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

　　直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

　　直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。直线和平面平行——没有公共点

　　直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

　　直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

　　高中数学基本的知识点总结 7

　　第一章三角函数

　　1.1任意角和弧度制

　　正角、负角、零角正角、负角、零角

　　象限角、轴线角象限角、轴线角

　　终边相同的角终边相同的角

　　弧度制、弧度与角度的互化弧度制、弧度与角度的互化

　　1.2任意角的三角函数

　　任意角的三角函数任意角的三角函数

　　三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）

　　同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式

　　1.3三角函数的诱导公式

　　三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式

　　1.4三角函数的图象与性质

　　正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

　　正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

　　1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象

　　函数y=Asin（ωxφ）的图象与性质函数y=Asin（wx φ）的图象与性质

　　1.6三角函数模型的简单应用

　　第二章平面向量

　　2.1平面向量的实际背景及基本概念

　　向量的概念及几何表示向量的概念及几何表示

　　零向量与单位向量零向量与单位向量

　　相等向量与共线向量的定义相等向量与共线向量的定义

　　2.2平面向量的线性运算

　　向量的加、减法运算及几何意义向量的加、减法运算及几何意义

　　向量数乘运算及几何意义向量数乘运算及几何意义

　　向量的线性运算及坐标表示向量的线性运算及坐标表示

　　2.3平面向量的基本定理及坐标表示

　　平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示

　　向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件及坐标表示

　　2.4平面向量的数量积

　　向量数量积的含义及几何意义向量数量积的含义及几何意义

　　向量数量积的运算向量数量积的运算

　　用数量积判断两个向量的垂直关系用数量积判断两个向量的垂直关系

　　用坐标表示向量的数量积用坐标表示向量的数量积

　　向量模的计算向量模的计算

　　用数量积表示两个向量的夹角用数量积表示两个向量的夹角

　　2.5平面向量应用举例

　　平面向量的应用平面向量的应用

　　第三章三角恒等变换

　　3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

　　两角和与差的三角函数及三角恒等变换两角和与差的三角函数及三角恒等变换

　　3.2简单的三角恒等变换

　　两角和与差的三角函数及三角恒等变换

　　高中数学基本的知识点总结 8

　　一、简单随机抽样

　　设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时，各个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。一般地如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本那么每个个体被抽到的概率等于n/N.常用的简单随机抽样方法有：抽签法、随机数法。

　　1.抽签法

　　一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

　　2.随机数法

　　随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

　　二、活用随机抽样

　　系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距是唯一确定，每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{an},第k组抽取样本的号码，ak=m+(k-1)d，如本题中根据第一组的样本号码和组距，可得第k组抽取号码应该为9+30x（k-1）

　　三、系统抽样

　　当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事，这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。

　　四、分层抽样

　　当已知总体有差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常常将总体分为几个部分，然后按照各个部分所占比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分层的各部分叫做层

　　高中数学基本的知识点总结 9

　　1、圆的定义

　　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

　　2、圆的方程

　　(x－a)^2+(y－b)^2=r^2

　　（1）标准方程，圆心(a,b)，半径为r；

　　（2）求圆方程的方法：

　　一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

　　需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

　　另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

　　3、直线与圆的位置关系

　　直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

　　（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

　　（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

　　(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

　　高中数学基本的知识点总结 10

　　1、集合的含义与表示

　　集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

　　把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

　　（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

　　（3）元素的无序性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

　　3、集合的表示：{…}

　　（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

　　a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a，b，c……}

　　b、描述法：

　　①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

　　{xR|x—32}，{x|x—32}

　　②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn图：画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

　　4、集合的分类：

　　（1）有限集：含有有限个元素的集合

　　（2）无限集：含有无限个元素的集合

　　（3）空集：不含任何元素的集合

　　5、元素与集合的关系：

　　（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

　　（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N_或N+

　　整数集Z

　　有理数集Q

　　实数集R

　　6、集合间的基本关系

　　（1）“包含”关系（1）—子集

　　定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

　　高三数学必修1知识点二

　　1、函数的奇偶性

　　（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（—x）；

　　（2）若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）=0（可用于求参数）；

　　（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f（x）±f（—x）=0或（f（x）≠0）；

　　（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

　　（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

　　2、复合函数的有关问题

　　（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b]，其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求f（x）的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；

　　3、函数图像（或方程曲线的对称性）

　　（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

　　（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；

　　（3）曲线C1：f（x，y）=0，关于y=x+a（y=—x+a）的对称曲线C2的方程为f（y—a，x+a）=0（或f（—y+a，—x+a）=0）；

　　（4）曲线C1：f（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线C2方程为：f（2a—x，2b—y）=0；

　　（5）若函数y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（a—x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；

　　（6）函数y=f（x—a）与y=f（b—x）的图像关于直线x=对称；

　　4、函数的周期性

　　（1）y=f（x）对x∈R时，f（x +a）=f（x—a）或f（x—2a）=f（x）（a0）恒成立，则y=f（x）是周期为2a的周期函数；

　　（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2︱a︱的周期函数；

　　（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4︱a︱的周期函数；

　　（4）若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期为2的周期函数；

　　（5）y=f（x）的图象关于直线x=a，x=b（a≠b）对称，则函数y=f（x）是周期为2的周期函数；

　　（6）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=—f（x）（或f（x+a）=，则y=f（x）是周期为2的周期函数；

　　5、方程

　　（1）方程k=f（x）有解k∈D（D为f（x）的值域）；

　　（2）a≥f（x）恒成立a≥[f（x）]max，；

　　a≤f（x）恒成立a≤[f（x）]min；

　　（3）（a0，a≠1，b0，n∈R+）；

　　log a N=（a0，a≠1，b0，b≠1）；

　　（4）log a b的符号由口诀“同正异负”记忆；

　　a log a N= N（a0，a≠1，N0）；

　　6、映射

　　判断对应是否为映射时，抓住两点：

　　（1）A中元素必须都有象且唯一；

　　（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；

　　7、函数单调性

　　（1）能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性；

　　（2）依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

　　8、反函数

　　对于反函数，应掌握以下一些结论：

　　（1）定义域上的单调函数必有反函数；

　　（2）奇函数的反函数也是奇函数；

　　（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；

　　（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

　　（5）y=f（x）与y=f—1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A，值域为B，则有f[f——1（x）]=x（x∈B），f——1[f（x）]=x（x∈A）、

　　9、数形结合

　　处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系、

　　10、恒成立问题

　　恒成立问题的处理方法：

　　（1）分离参数法；

　　（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解；

　　高中数学基本的知识点总结 11

　　一．算法，概率和统计

　　1．算法初步（约12课时）

　　（1）算法的含义、程序框图

　　①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

　　②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

　　（2）基本算法语句

　　经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

　　（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　3．概率（约8课时）

　　（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

　　（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

　　（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

　　（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

　　（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

　　2．统计（约16课时）

　　（1）随机抽样

　　①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

　　②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

　　③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

　　④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

　　（2）用样本估计总体

　　①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

　　②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

　　③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。

　　④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

　　⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

　　⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

　　（3）变量的相关性

　　①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

　　②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

　　二．常用逻辑用语

　　1。命题及其关系

　　①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

　　②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

　　（2）简单的逻辑联结词

　　通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"的含义。

　　（3）全称量词与存在量词

　　①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。

　　②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

　　3．导数及其应用（约16课时）

　　（1）导数概念及其几何意义

　　①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见例2、例3）。

　　②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

　　（2）导数的运算

　　①能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=1/x的导数。

　　②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

　　③会使用导数公式表。

　　（3）导数在研究函数中的应用

　　①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

　　②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。2．圆锥曲线与方程（约12课时）

　　（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

　　（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例1），掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

　　（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。

　　（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

　　（5）了解圆锥曲线的简单应用。

　　三．统计案例（约14课时）

　　通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

　　①通过对典型案例（如"肺癌与吸烟有关吗"等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

　　②通过对典型案例（如"质量控制"、"新药是否有效"等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见例1）。

　　③通过对典型案例（如"昆虫分类"等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。

　　④通过对典型案例（如"人的体重与身高的关系"等）的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。

　　2．推理与证明（约10课时）

　　（1）合情推理与演绎推理

　　①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见例2、例3）。

　　②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

　　③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

　　（2）直接证明与间接证明

　　①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

　　②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点。

　　高中数学基本的知识点总结 12

　　一次函数

　　一、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b

　　则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx （k为常数，k0）

　　二、一次函数的性质：

　　1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）

　　2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质：

　　1、作法与图形：通过如下3个步骤

　　（1）列表；

　　（2）描点；

　　（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

　　2、性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（—b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

　　3、k，b与函数图像所在象限：

　　当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b0时，直线必通过一、二象限；

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函数的表达式。

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人补充）

　　1、求函数图像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求与x轴平行线段的中点：|x1—x2|/2

　　3、求与y轴平行线段的中点：|y1—y2|/2

　　4、求任意线段的长：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根号下（x1—x2）与（y1—y2）的平方和）

　　二次函数

　　I、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a0）

　　顶点式：y=a（x—h）^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a（x—x）（x—x ） [仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a

　　III、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV、抛物线的性质

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x= —b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当= b^2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。

　　5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6、抛物线与x轴交点个数

　　= b^2—4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　= b^2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　= b^2—4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= —bb^2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　V、二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式顶点坐标对称轴

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　当h0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到、

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了、这给画图象提供了方便、

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、

　　3、抛物线y=ax^2+bx+c（a0），若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而减小；当x —b/2a时，y随x的增大而增大、若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而增大；当x —b/2a时，y随x的增大而减小、

　　4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

　　（2）当△=b^2—4ac0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　（a0）的两根、这两点间的距离AB=|x—x|

　　当△=0、图象与x轴只有一个交点；

　　当△0、图象与x轴没有交点、当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0、

　　5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），则当x= —b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a、

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值、

　　6、用待定系数法求二次函数的解析式

　　（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a0）、

　　（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a0）、

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、

　　7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现、

　　反比例函数

　　形如y=k/x（k为常数且k0）的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

　　当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

　　2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（xm）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

　　高中数学基本的知识点总结 13

　　1、你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗？（斜二测画法）。

　　2、线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗？线线平行、线面平行、面面平行这三者之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的？每种平行之间转换的条件是什么？

　　3、三垂线定理及其逆定理你记住了吗？你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见

　　3、线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大。

　　4、求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法。

　　5、异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角（或其补角），特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其补角，还是两种情况都有可能。

　　6、你知道公式：和中每一字母的意思吗？能够熟练地应用它们解题吗？

　　7、两条异面直线所成的角的范围：0°《α≤90°

　　直线与平面所成的角的范围：0o≤α≤90°

　　二面角的平面角的取值范围：0°≤α≤180°

　　8、你知道异面直线上两点间的距离公式如何运用吗？

　　9、平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”。

　　10、立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，你是否只注重了“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节？

　　11、棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质。这些知识你掌握了吗？（注意运用向量的方法解题）

　　12、球及其性质；经纬度定义易混。经度为二面角，纬度为线面角、球面距离的求法；球的表面积和体积公式。

　　高中数学基本的知识点总结 14

　　(1)配方法:若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。

　　(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

　　(3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y的范围，即原函数的值域

　　(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等。”

　　(5)反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。

　　(6)单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)

　　(7)数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。

　　注意：

　　(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化；用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。

　　(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。分段函数的值域应分段分析，再取并集。

　　(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。

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