初二数学知识点总结

2023-06-21 知识点总结

　　在平时的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。为了帮助大家更高效的学习，以下是小编收集整理的初二数学知识点总结，欢迎大家分享。

　　一、三角形

　　一、三角形相关概念

　　1．三角形的概念

　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

　　2．三角形的表示

　　通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．

　　3．三角形中的三种重要线段

　　三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．

　　（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

　　注意：

　　①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．

　　②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．

　　③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．

　　（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：

　　①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．

　　②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．

　　（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。注意：

　　①三角形的三条高是线段

　　②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．

　　二、三角形三边关系定理

　　①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．

　　②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和

　　三、三角形的稳定性

　　三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

　　四、三角形的内角

　　三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：

　　结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

　　（1）构造平角

　　①可过A点作MN∥BC(如图)

　　②可过一边上任一点，作另两边的平行线

　　（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角

　　构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边

　　结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°

　　（因为∠A+∠B+∠C=180°）

　　注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

　　如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

　　②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

　　如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．

　　五、三角形的外角

　　1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．

　　2．性质：

　　①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

　　②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.

　　③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数

　　过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．

　　六、三角形理论总结

　　1全等三角形的对应边、对应角相等

　　2边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

　　3角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

　　4推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

　　5边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

　　6斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

　　7定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

　　8定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

　　9角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

　　10等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

　　11推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

　　12等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

　　13推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

　　14等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

　　15推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

　　16推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

　　17在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

　　18直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

　　19定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

　　20逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

　　七、多边形

　　①多边形的对角线n

　　2条对角线

　　②n边形的内角和为（n－2）×180°

　　③多边形的外角和为360°

　　二、轴对称

　　一、轴对称图形

　　1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

　　2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线

　　4.轴对称与轴对称图形的性质

　　①关于某直线对称的两个图形是全等形。

　　②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

　　⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

　　二、线段的垂直平分线

　　1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

　　2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

　　3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

　　三、用坐标表示轴对称小结：

　　1.在平面直角坐标系中

　　①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;

　　②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;

　　③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；

　　④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；

　　⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标

　　点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_（x, -y）_____.

　　点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为___（-x, y）___.

　　2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

　　三、一次函数

　　1、一次函数，正比例函数的定义

　　(1)如果y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),那么y叫做x的一次函数。

　　(2)当b=0时，一次函数y=kx+b即为y=kx(k≠0).这时，y叫做x的正比例函数。

　　注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

　　2、正比例函数的图象与性质

　　(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过(0，0)(1，k)的一条直线。

　　(2)当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx经过一、三象限从左到右直线上升。

　　当k<0时y随x的增大而减少直线y=kx经过二、四象限从左到右直线下降。

　　3、一次函数的图象与性质

　　(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过(0，b)(-，0)的一条直线。

　　注：(0,b)是直线与y轴交点坐标，(-，0)是直线与x轴交点坐标.

　　(2)当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx+b(k≠0)是上升的

　　当k<0时y随x的增大而减少直线y=kx+b(k≠0)是下降的

　　4、一次函数y=kx+b(k≠0,kb为常数)中k、b的符号对图象的影响

　　(1)k>0,b>0直线经过一、二、三象限

　　(2)k>0,b<0直线经过一、三、四象限

　　(3)k<0,b="">0直线经过一、二、四象限

　　(4)k<0,b<0直线经过二、三、四象限

　　5、对一次函数y=kx+b的系数k,b的理解。

　　(1)k(k≠0)相同，b不同时的所有直线平行，即直线；直线(均不为零,为常数)

　　(2)k(k≠0)不同，b相同时的所有直线恒过y轴上一定点(0,b)，例如：直线y=2x+3,y=-2x+3,均交于y轴一点(0，3)

　　6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右(或向上，向下)平行移动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可由公式得到，其中b1,b2是两直线与y轴交点的纵坐标，直线沿x轴平移多少个单位，可由公式求得，其中x1,x2是由两直线与x轴交点的横坐标。

　　7、直线y=kx+b(k≠0)与方程、不等式的联系

　　(1)一条直线y=kx+b(k≠0)就是一个关于y的二元一次方程

　　(2)求两直线的交点，就是解关于x，y的方程组

　　(3)若y>0则kx+b>0。若y<0，则kx+b<0

　　(4)一元一次不等式，y1≤kx+b≤y2(y1，y2都是已知数，且y1

　　(5)一元一次不等式kx+b≤y0(或kx+b≥y0)(y0为已知数)的解集集就是直线y=kx+b上满足y≤y0(或y≥y0)那条射线所对应的.自变量的取范围。

　　8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

　　(1)由于比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只要一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。

　　(2)一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y的值。

　　9、反比例函数

　　(1)反比例函数及其图象

　　如果,那么，y是x的反比例函数。

　　反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象

　　(2)反比例函数的性质

　　当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

　　(3)由于比例函数中只有一个待定系数k，故只要一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。

　　四、直角三角形

　　1.勾股定理及其逆定理

　　定理：直角三角形的两条直角边的等于的平方。

　　逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

　　2.含30°的直角三角形的边的性质

　　定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么等于的一半。

　　3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”。

　　②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法。

　　五、图形的平移与旋转

　　1.平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

　　2.平移性质

　　(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。

　　(2)图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。

　　六、整式乘除与因式分解

　　一．回顾知识点

　　1、主要知识回顾：

　　幂的运算性质：

　　am·an＝am＋n（m、n为正整数）

　　同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

　　＝amn（m、n为正整数）

　　幂的乘方，底数不变，指数相乘．

　　同底数幂相除，底数不变，指数相减．

　　零指数幂的概念：

　　0a＝1（a≠0）

　　任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

　　负指数幂的概念：

　　1a＝a（a≠0，p是正整数）

　　任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．（m≠0，n≠0，p为正整数）也可表示为：

　　单项式的乘法法则：

　　单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连pp－pp同它的指数作为积的一个因式．

　　单项式与多项式的乘法法则：

　　单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

　　多项式与多项式的乘法法则：

　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．单项式的除法法则：

　　单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

　　多项式除以单项式的法则：

　　多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

　　2、乘法公式：

　　①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

　　文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

　　②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

　　（a－b）2＝a2－2ab＋b2

　　文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

　　3、因式分解：

　　因式分解的定义．

　　把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

　　掌握其定义应注意以下几点：

　　（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

　　（2）因式分解必须是恒等变形；

　　（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

　　弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

　　因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

　　二、熟练掌握因式分解的常用方法．

　　1、提公因式法

　　（1）掌握提公因式法的概念；

　　（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：

　　①系数一各项系数的最大公约数；

　　②字母——各项含有的相同字母；

　　③指数——相同字母的最低次数；

　　（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

　　（4）注意点：

　　①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

　　②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

　　2、公式法

　　运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

　　常用的公式：

　　22①平方差公式：a－b＝（a＋b）（a－b）

　　②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 222 a－2ab＋b＝（a－b）

　　七、二次根式

　　二次根式概念

　　本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，主要内容有：

　　（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；

　　（2）二次根式的性质；

　　（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等。

　　二次根式定义

　　1.二次根式的定义：

　　一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

　　2.二次根式的性质：

　　①.任何一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.如正数a的算术平方根是x,则a的另一个平方根为﹣x；

　　②.零的平方根是零；

　　③.负数没有平方根；

　　④.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式；

　　⑤.无理数可用有理数形式表示。

　　3.二次根式的运算

　　二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减。

　　1）二次根式的加减运算：

　　先把式子中各项二次根式化成最简二次根式,再参照多项式的加减运算,去括号与合并同类二次根式.

　　2）二次根式的乘法：

　　（1）法则：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）

　　（2）类型：

　　（i）单项二次根式乘以单项二次根式；

　　（ii）单项二次根式乘以多项二次根式；

　　（iii）多项二次根式乘以多项二次根式

　　在进行乘法运算时,有时可以应用乘法公式,使计算简便.

　　3）二次根式的除法：

　　（1）法则：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）

　　（2）类型：

　　（i）单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）

　　（ii）多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）

　　（iii）除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算,或与分式的运算类比思考,约去分子,分母中的公因式）.

　　4）二次根式的混合运算：

　　先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．

　　注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数。

　　5）有理化因式：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式。

　　一个含有二次根式的代数式的有理化因式不唯一。如√a与√a（或者√a与-√a），√a-√b与√a+√b（或者√a-√b与-√a-√b）互为有理化因式。

　　6）二次根式的比较（重点）：

　　比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法，“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法。

　　1）移动因式法：就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

　　2）运用平方法：两边同时平方,转化为比较幂的大小。

　　3）分母有理化法：此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

　　4）分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

　　5）求倒数法：先求两数的倒数，而后再进行比较。

　　6）运用媒介法：此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

　　二次根式的应用：

　　主要体现在两个方面：

　　1.利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;

　　2.利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

　　二次根式常见考法：

　　(1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力；

　　(2)联系生活实际设计一些方案探究题。

　　初中数学二次根式误区提醒：

　　(1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;

　　(2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。

　　八、勾股定理

　　1：勾股定理

　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

　　要点诠释：

　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

　　（1）已知直角三角形的两边求第三边

　　（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

　　（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

　　2：勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

　　要点诠释：

　　勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

　　（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

　　（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

　　3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

　　区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

　　联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

　　4：互逆命题的概念

　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

　　5：勾股定理的证明

　　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

　　①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

　　②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

　　九、平行四边形

　　1、平行四边形的概念

　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

　　平行四边形用符号□abcd表示，如平行四边形abcd记作□abcd，读作平行四边形abcd。

　　2、平行四边形的性质

　　(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。

　　(2)平行四边形的对边平行且相等。

　　推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

　　(3)平行四边形的对角线互相平分。

　　(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

　　3、平行四边形的判定

　　(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

　　(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

　　(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

　　(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

　　(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

　　4、两条平行线的距离

　　两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

　　平行线间的距离处处相等。

　　5、平行四边形的面积

　　s平行四边形=底边长高=ah

　　6、特殊的平行四边形

　　【菱形】

　　1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

　　2.菱形的性质：

　　(1)菱形的性质有：

　　①平行四边形的一切性质;

　　②四条边都相等;

　　③对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;

　　④菱形是对称轴图形，它有2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。

　　(2)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半。

　　3.菱形的判定：

　　(1)用定义判定(即一组邻边相等的平行四边形是菱形)。

　　(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

　　(3)四条边都相等的四边形是菱形。

　　综上可知，判定菱形时常用的思路：

　　四条边都相等菱形

　　菱形四边形

　　平行

　　四边形有一组邻边相等菱形

　　【矩形】

　　1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

　　2.矩形的性质：

　　(1)具有平行四边形的一切性质;

　　(2)矩形的四个角都是直角;

　　(3)矩形的四个角都相等。

　　4.矩形的判定方法：

　　(1)用定义判定(即有一个角是直角的平行四边形是矩形);

　　(2)三个角都是直角的四边形是矩形;

　　(3)对角线相等的平行四边形是矩形。

　　综上可知，判定矩形时常用的思路：

　　【正方形】

　　1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

　　2.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

　　(1)边：四条边相等，邻边垂直且相等，对边平行且相等。

　　(2)角：四个角都是直角。

　　(3)对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

　　3.正方形的判定

　　(1)根据定义判定;对角线相等的菱形是正方形;

　　(2)有一个角是直角的菱形是正方形;

　　(3)有一组邻边相等的矩形是正方形;

　　(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

　　4.特殊的平行四边形之间的关系

　　矩形、菱形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，它们之间的关系如图所示：

　　5.依次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状：

　　(1)依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行变形;

　　(2)依次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形;

　　(3)依次连接对角线垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形;

　　(4)依次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得到的四边形是正方形;

　　十、数据的分析

　　本章主要研究平均数、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。

　　1、平均数

　　①一般地，对于n个数x1x2.....xn，我们把（x1+x2+···+xn）叫做这n个数的算数平均数，简称平均数记为。

　　②在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算，这组数据的平均数时，往往给每个数据一个权，叫做加权平均数

　　2、中位数与众数

　　①中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数

　　②一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数

　　③平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量

　　④计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但他容易受极端值影响。

　　⑤中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息

　　⑥各个数据重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义

　　3、从统计图分析数据的集中趋势

　　4、数据的离散程度

　　①实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。一组数据中最大数据与最小数据的差，（称为极差），就是刻画数据离散程度的一个统计量

　　②数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画

　　③方差是各个数据与平均数差的平方的平均数

　　④其中是x1x2......xn平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根

　　⑤一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

　　十一、平面直角坐标系

　　一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

　　二、平面直角坐标系及有关概念

　　1、平面直角坐标系

　　在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

　　2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

　　注意：x轴和y轴上的点(坐标轴上的点)，不属于任何一个象限。

　　3、点的坐标的概念

　　对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标。

　　点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有，分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。

　　平面内点的与有序实数对是一一对应的。

　　4、不同位置的点的坐标的特征

　　(1)、各象限内点的坐标的特征

　　点P(x,y)在第一象限：x0

　　点P(x,y)在第二象限：x0

　　点P(x,y)在第三象限：x0

　　点P(x,y)在第四象限：x0

　　(2)、坐标轴上的点的特征

　　点P(x,y)在x轴上,y=0 ，x为任意实数

　　点P(x,y)在y轴上,x=0 ，y为任意实数

　　点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上， x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)即原点

　　(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

　　点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上，x与y相等

　　点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上，x与y互为相反数

　　(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

　　位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

　　位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

　　(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

　　点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P(x，-y)

　　点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P(-x，y)

　　点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P(-x，-y)

　　(6)、点到坐标轴及原点的距离

　　点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

　　(1)点P(x,y)到x轴的距离等于|y|;

　　(2)点P(x,y)到y轴的距离等于|x|;

　　(3)点P(x,y)到原点的距离等于根号x*x+y*y

　　三、坐标变化与图形变化的规律：

　　坐标(x，y)的变化

　　图形的变化

　　x a或y a

　　被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍

　　x a，y a

　　放大(缩小)为原来的a倍

　　x (-1)或y (-1)

　　关于y轴或x轴对称

　　x (-1)，y (-1)

　　关于原点成中心对称

　　x +a或y+ a

　　沿x轴或y轴平移a个单位

　　x +a，y+ a

　　沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单

　　十二、实数

　　1、认识无理数

　　①有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示

　　②无理数：无限不循环小数

　　2、平方根

　　①算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根

　　②特别地，我们规定：0的算数平方根是0

　　③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根

　　④一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根

　　⑤正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±

　　⑥开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数

　　3、立方根

　　①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根

　　②每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数；0立方根是0；负数的立方根是负数。

　　③开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数

　　4、估算

　　①估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数

　　5、用计算机开平方

　　6、实数

　　①实数：有理数和无理数的统称

　　②实数也可以分为正实数、0、负实数

　　③每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大

　　7、二次根式

　　①含义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数

　　② =（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）

　　③最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式

　　④化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式

　　十三、分式

　　（一）运用公式法：

　　我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

　　a2—b2=（a+b）（a—b）

　　a2+2ab+b2=（a+b）2

　　a2—2ab+b2=（a—b）2

　　如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

　　（二）平方差公式

　　1.平方差公式

　　（1）式子： a2—b2=（a+b）（a—b）

　　（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

　　（三）因式分解

　　1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

　　2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

　　（四）完全平方公式

　　（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2 和（a—b）2=a2—2ab+b2反过来，就可以得到：

　　a2+2ab+b2 =（a+b）2

　　a2—2ab+b2 =（a—b）2

　　这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

　　把a2+2ab+b2和a2—2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

　　上面两个公式叫完全平方公式。

　　（2）完全平方式的形式和特点

　　①项数：三项

　　②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

　　③有一项是这两个数的积的两倍。

　　（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

　　（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

　　（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

　　（五）分组分解法

　　我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

　　如果我们把它分成两组（am+ an）和（bm+ bn），这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

　　原式=（am +an）+（bm+ bn）

　　=a（m+ n）+b（m +n）

　　做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式（m+n），因此还能继续分解，所以

　　原式=（am +an）+（bm+ bn）

　　=a（m+ n）+b（m+ n）

　　=（m +n）×（a +b）。

　　这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

　　（六）提公因式法

　　1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。

　　2. 运用公式x2 +（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）进行因式分解要注意：

　　1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。

　　2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：

　　① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；

　　②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。

　　3.将原多项式分解成（x+q）（x+p）的形式。

　　（七）分式的乘除法

　　1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

　　2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。

　　3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式。如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。

　　4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x—y=—（y—x），（x—y）2=（y—x）2，（x—y）3=—（y—x）3。

　　5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按—1的偶次方为正、奇次方为负来处理。当然，简单的分式之分子分母可直接乘方。

　　6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减。

　　（八）分数的加减法

　　1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形。约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来。

　　2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。

　　3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。

　　4.通分的依据：分式的基本性质。

　　5.通分的关键：确定几个分式的公分母。

　　通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

　　6.类比分数的通分得到分式的通分：

　　把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

　　7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

　　同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

　　8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

　　9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。

　　10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。

　　11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。

　　12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。

　　（九）含有字母系数的一元一次方程

　　1.含有字母系数的一元一次方程

　　引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b（a≠0）

　　在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。

　　含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零

　　十四、全等三角形

　　一、全等三角形

　　1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

　　理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；

　　②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全

　　等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

　　2、全等三角形有哪些性质

　　（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

　　理解：

　　①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；

　　②对应角的对边为对应边，对应边对

　　的角为对应角。

　　（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

　　（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

　　3、全等三角形的判定

　　边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)

　　边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)

　　1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

　　2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

　　注意：三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。

　　三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

　　（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

　　（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

　　（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

　　（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”

　　（5）截长补短法证三角形全等。

　　十五、零指数幂与负整指数幂

　　重点：幂的性质(指数为全体整数)并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数

　　难点：理解和应用整数指数幂的性质。

　　一、复习练习：

　　1、;=;=，=，=。

　　2、不用计算器计算：÷(—2)2—2-1+

　　二、指数的范围扩大到了全体整数.

　　1、探索

　　现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢?与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.

　　(1);(2)(ab)-3=a-3b-3;(3)(a-3)2=a(-3)×2

　　2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。

　　3、例1计算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。

　　解：原式=2-3m-3n-6×m-5n10=m-8n4=

　　4练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

　　(1)(a-3)2(ab2)-3;(2)(2mn2)-2(m-2n-1)-3.

　　三、科学记数法

　　1、回忆：在之前的学习中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣<10.例如，864000可以写成8.64×105.

　　2、类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣<10.

　　3、探索：

　　10-1=0.1

　　10-2=

　　10-3=

　　10-4=

　　10-5=

　　归纳：10-n=

　　例如，上面例2(2)中的0.000021可以表示成2.1×10-5.

　　4、例2、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米?请用科学记数法表示.

　　分析我们知道：1纳米=米.由=10-9可知，1纳米=10-9米.

　　所以35纳米=35×10-9米.

　　而35×10-9=(3.5×10)×10-9

　　=35×101+(-9)=3.5×10-8，

　　所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.

　　5、练习

　　①用科学记数法表示：

　　(1)0.00003;

　　(2)-0.0000064;

　　(3)0.0000314;

　　(4)000.

　　②用科学记数法填空：

　　(1)1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒=_________秒;

　　(2)1毫克=_________千克;

　　(3)1微米=_________米;(4)1纳米=_________微米;

　　(4)1平方厘米=_________平方米;(6)1毫升=_________立方米.

　　十六、一元一次不等式和一元一次不等式组

　　一、不等关系

　　1、一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.

　　2、要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

　　3、准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

　　非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0

　　非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0

　　二、不等式的基本性质

　　1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

　　(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:

　　如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

　　(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

　　如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.

　　(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:

　　如果a>b,并且c<0,那么ac

　　2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)

　　一般地:

　　如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;

　　如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

　　如果a

　　即:

　　a>b<===>a-b>0

　　a=b<===>a-b=0

　　aa-b<0

　　(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

　　拓展阅读：初中数学提高解题速度的方法

　　认真仔细审题

　　对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。

　　有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。

　　做好归纳总结

　　在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。

　　熟悉习题内容

　　解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度就越快。

　　因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留。

　　学会主动画图

　　画图是一个翻译的过程，把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。

　　因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。

　　逐步增加难度

　　人们认识事物的过程都是从简单到复杂。简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。

　　我们在学习时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的习题，以不断提高解题速度和解题能力。随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。

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