常用函数图像1
一次函数图像，是北师大八年级上册的内容。教学这一节时，我没有按照课本的讲解。我着这样安排的，先讲正比例函数的'图像和性质，用一课时，今天我就是讲这一节。
先介绍函数的图像、画法。再画正比例函数的图像，引出正比例函数是经过原点的直线。接着介绍怎样作正比例函数的图像。用这种方法，作几个正比例函数的图像，总结规律。接着练习。
练习之后我备课时又有一个性质要介绍，由于时间的关系，没有讲解，就下课了！
反思：1、课堂中前段时间留给学生的时间长，没完成课前准备的教学任务。
2、本节课讲到第三个性质。
3、练习题要精而且少，难易适中。
4、注意课前准备，上课注意语言。函数教学反思反比例函数教学反思
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本专题虽然为复习专题，但对于职中的学生来说，仍为学习的一个难点，因此教师要把握好难度，主要在学生了解知识的发生发展过程的基础上，让学生熟记结论，能正确的运用结论即可。主要思路以学生探索为主，教师点拨、启发、引导和利用几何画板、课件动画演示为辅，整个教学过程遵循学生认识事物从“特殊”到“一般”的规律。
以前该部分内容的教学通常是通过取值、列表、描点、画图然后静态的让学生观察、总结，最后得出它们之间图像变化的特点，不仅教学内容少，所耗时间长，课堂气氛枯燥、学生参与的活动少、学习的积极性较低。通过信息技术的使用，改变常规教学中的处理方式，通过动画演示，直观生动，让学生通过实验、观察、体会和交流，使得函数图像的对称变换、伸缩变换、平移变换变得形象、直观，学生易于理解和掌握。学生的学习兴趣浓厚、参与活动多、课堂气氛活跃，使课堂教学落到了实处，主体作用得到了真正的体现，综合能力和素质也得到了培养，这充分体现了信息技术具有的优势。
在第一课时函数图像的平移变化教学中，通过游戏引入，激发学生的学习兴趣，为整节课奠定一个活跃的氛围。再通过学生熟知的初等函数图像之间的关系，让学生从“特殊到一般”总结规律。在上课时，教师可根据学生的基础进行调整。如果学生基础较好的可以把它推广到一般的函数
也即沿着轴正半轴平移为“－”，沿着负半轴平移的为（+）
口诀：左“+”右“－”
如果学生的基础较差，可以设计几个简单的函数，利用几何画板观察图像变化，直接给出结论，而不给出这样的表达式。另外一个，采用特殊记忆：口诀记忆：左“+”右“－”，形象易记。通过教师课堂上口述练习，学生抢答，为学生创造更多的成功体验，培养学生的自信心。在讲左右平移的时候注意自变量得系数不为1的时候，应该先把系数提取再进行平移。例如函数向右平移3各单位，学生很容易犯这样的`错误，直接在后面减去3得到.这是本节课的一个难点，教师可通过几何画板进行实验，让学生深刻理解平移后的表达式应该是。在教学过程中，整个课堂从开始到结束，学生都能够保持着高的参与度，并很好的完成专项练习。
第二课时函数图像的对称变换，较为系统的从关于、轴对称到关于点对称，从点的对称到整一个图像的对称，思路清晰明了，通过课件动画演示，让学生易于找到规律，从感性的认识上升到理性认识，培养学生的分析与归纳能力大有帮助。对基础较好的学生可以将含绝对值的函数图像选择性的学习，拓广学生的思维。
第三节课函数图像的伸缩变换，从生活实例引入，由学生熟悉的基本初等函数正弦函数为典例，动画演示，从形的直观再到数（解析式）的表示，学生比较容易入手。特别是对于家电专业的学生，特殊的专业模型电流的图像，让学生更能感觉到学有所用。采用观察法，减少推导过程，让学生直接运用结论，大大降低难度，让学生感到应用知识并不难。
函数图像的变换在高职考中主要考查对变换前后图像形状判断、变换前后函数解析式的表示。因此设计练习时侧重于常见题型的演练，注意把握好难度。特别注意在几种变换综合时，图像的平移变换中注意左右平移针对自变量x，上下平移针对函数值y.特别是改变平移途径先伸缩后平移的方法。例如将函数图像向右平移2个单位，得到的图像，再向下平移3个单位得到，而不是。
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在本节课中我采用“类比——探究——讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图像。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图像，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对正切函数的感性认识和形成正切函数图像的了解。
通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神。通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的'归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。
学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。在课堂教学中注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂时间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学生的研究时间
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一、教材分析
1、教学目标：
（1）、能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的图象。 （2）、进一步理解函数的3种表示方法，即列表法、解析式法和图象法及各自的特点。
（3）、经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。
2、重点：画反比例函数的图象。
3、难点：根据反比例函数图象初步感知反比例函数的性质。
二、教后反思
1、优点： （1）、让学生经历“回忆——对比——猜想——分析——验证”的思维过程。先让学生画一次函数y=2x+4的图象。回忆函数图象的画法（列表，描点，连线），再让学生猜想 的图象，并引导学生围绕图象点的横纵坐标的符号特征，来预测它的.图象，并与y=2x+4的图象进行对比，最后，学生带着疑问进行探索，画 的图象，并最终验证了自己的猜想。
（2）、在学生亲手画出一次函数y=2x+4的图象后，通过对比辨析反比例函数的图象概念及其特点，使学生得到深刻的认识和理解。
（3）、无限接近的理解。这是难点，学生没有生活经验。为了增加学生的感性认识，我拓展介绍了“无限可分和无限接近”的概念。并用直尺进行演示，使学生对于“无限”的理解有了实例的依托。
（4）、在讲解 的图象是中心对称图形时，列举了特殊的点来对比认识其中心对称性，让学生真正理解。
2、不足：
（1）、反比例函数图象的概念出示过早，特别是图象的两个分支在“一、三或二、四”象限时，学生没有感性认识。
（2）、学案设计有缺陷。直角坐标系和表格准备不当，给学生在操作画图时带来了不必要的干扰。影响了教学效果。
（3）、习题练习不充分，讲解时学生的主动性没有发挥。
3、改进：
（1）、学生画函数图象时，细节不够重视，教师可在课前把范例准备好，
以便学生能够对比发现自己的不足，进而改进。
（2）、对于反比例函数图象的画法，可让学生先小组讨论完成，这样有助于学生对反比例函数的深入理解，也可为后续学习其性质和应用增加一些思维锻炼。
（3）、学案设计要简明，要求和步骤应在学案上清楚表明，以便学生能够清楚认识学习的任务和步骤，也方便教师掌握教学进度。 也许您也喜欢下面的内容：
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从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。
通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有令人不满意的地方。教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状，二是两点法画一次函数的图象，三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系。
在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的`形状，两条直线的位置关系。
在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究k、b符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中k、b符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照k、b的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确k的符号决定直线的什么位置，b的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中k、b的符号的练习，收到了一定的效果。
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《新课程标准》强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程．在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程．课堂应较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，学习方式开始逐步多样化，乐于探究、主动参与、勤于动手成为教学过程中教师的共识．为此，本节课主要通过开放式的提出问题，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征，体会事物是有规律地变化着的观点．用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神．借助于多媒体课件，让学生更能直观的知道图象的形成过程，有助于学生对数学知识的理解和掌握．
在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下几个方面。 第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例
函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。
不足与改进：在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、有针对性的提出问题，学生小组合作探讨问题得出结论，然而部分小组在合作探究上还有所欠缺，讨论的不够激烈完善。我的改进设想是：留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的`学习更富有主动性；在画出反比例函数的图象后，没有让学生趁热打铁“看图说话”，说出具体的图象的特征；在画出反比例函数的图象后，追加这样一个问题：“请同学们仔细观察图象并进行讨论，这个反比例函数的图象区别于一次函数的图象有那些不同的特征呢？” 留给时间让学生讨论、交流，这样改进之后，必将能更大的激发学生的探索热情，更能
体现学生的创新能力，同时也为进一步学习反比例函数的图象的特征埋下伏笔，能增强学生学习的信心．
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【学习目标】
1、从图像平移和描点法两个角度了解余弦函数的图像画法；
2、类比学习正弦函数的图像方法理解五点法画函数 = csx，x∈[0，2π]的简图；
3、会利用余弦函数的图像研究其定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性、图像的对称性；
【学习重点】
五点法画余弦函数图象和余弦函数的性质
【学习难点】
余弦函数的性质性质的应用
【思想方法】
能从图形观察、分析得出结论，体会数形结合的思想方法
【学习过程】
一、预习自学（把握基础）
（阅读课本第31～33页“练习”以上部分的内容，类比正弦函数的图像和性质的研究方法，理解 = csx，x∈[0，2π]的简图并归纳其性质 ）
1、余弦函数 = csx，x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 R,的图像的画法有 和 两种；
2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
411【导学案】余弦函数的图像与性质
3、试结合余弦曲线理解归纳出余弦函数的.性质：
二、合作探究（巩固深化，发展思维）
例1．用“五点法”画出下列函数的简图.
（1）＝－csx , x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 [0，2π] （2）＝3csx, x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 [-π，π]
例2.画出函数=csx-1, x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 R的简图,根据图像讨论函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性、图像的对称性；
例3、请分别用单位圆和余弦函数图像求满足不等式 411【导学案】余弦函数的图像与性质 的x的集合。
三、学习体会
1、知识方法:
2、我的疑惑：
四、达标检测（相信自我，收获成功）
1.＝1＋csx, x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 [0,2π]的图像与直线=1的交点个数为
2、函数=2-csx, x 411【导学案】余弦函数的图像与性质 [0,2π]的值域为 ，增区间为
3、= 411【导学案】余弦函数的图像与性质 的定义域为 ；
4、＝1＋csx的奇偶性是
5、 411【导学案】余弦函数的图像与性质 的递减区间是 ；
6.观察余弦曲线写出满足csx＜0的x的集合
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作法
(1)列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
一般地，y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0，0)和(1，k)两点画出即可。
(3)连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑曲线连接起来。
性质
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x，y)，则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总交于(-b/k，0)。正比例函数的图像都经过原点。
k，b决定函数图像的位置：
y=kx时，y与x成正比例：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过第一、三象限;
当b<0时，直线必通过第二、四象限。
特别地，当b=0时，直线经过原点O(0，0)。
这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的`原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
平面直角坐标系的构成
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
点的坐标的性质
建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
因式分解的一般步骤
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：
①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
⑥首项负号放括号外
⑦括号内同类项合并。
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这节课是青岛版九年级数学下册的一节探究课。在教学中我采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现"主体参与、自主探索、合作交流、指导引探"的教学理念。整个教学过程主要分为三部分：第一部分是前置性作业，前置作业是前一天发给
2y?ax学生的，主要涉及如何作图、复习二次函数性质等问题。我的`
设计目的是让学生在复习这些知识的过程中体会从函数图像来研究函数性质。应该说这样设计既让初三同学复习了旧知又使他们体会到如何研究函数，从哪些方面研究函数，从思维层面锻炼了学生的探究
2y?ax?c的能力。第二部分是学习探究，只要是图象让学生感受
性质以及和二次函数y?ax的联系与区别。第三部分是通过练习和我的展示让学生锻炼了自我学习的能力和出题的能力。
本节课的优点主要包括：
1、教态自然，能注重身体语言的作用，提问具有启发性。
2、教学目标明确、思路清晰，注重学生的自我学习培养和小组合作学习的落实。
3、能运用现代化的教学手段教学，尤其是能用几何画板等软件突破重难点
4、二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体的动态展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规2
律，很形象，便于记忆。
本节课的不足之处表现在：
1、目标定位不好，本节课通过画图，由图象观察总结出对称轴、顶点坐标、开口方向等。
2、课堂上讲的太多。有些过程，让学生自主观察总结是完全能收到好的效果的，但是我都替学生总结了，学生还是被动的接受。其实这还是思想的问题，说明我没有真的放开手。真正让学生有了空间，他们也会给我们很大的惊喜。
3、有些内容偏离教学大纲，导致差生吃不好，优生吃不饱。课堂上有个别同学的学习态度不尽人意。
4、备课不够细心，“图象”两个字变成“图像”。
5、课堂应急处理不够老练，同学提出的问题没有及时解答
但在教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。
总之，在数学教学中不但要善于设疑置难，而且要理论联系实际，只有这样才会吸引学生对数学学科的热爱。
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1 基本信息
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：△y/△x=k (△为任意不为零的实数)，即函数图像的斜率。
2.一次函数的表达式：y=kx+b
3.性质：当k0时，y随x的增大而增大;
当k0时，y随x的'增大而减小。
当b0时，该函数与y轴交于正半轴;
当b0时，该函数与y轴交于负半轴
当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
4.一次函数定义域x∈R,值域f(x)∈R
5.一次函数在x∈R上的单调性：
若f(x)=kx+b,k0，则该函数在x∈R上单调递增。
若f(x)=kx+b,k0，则该函数在x∈r上单调递减。
2 函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b为常数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
当y=0时，该函数图像在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)
形、取、象、交、减。
4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.
5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行;
当k不同，且b相等，图像相交;
当k互为负倒数时，两直线垂直;
当k，b都相同时，两条直线重合。
3 图像性质
1.作法与图形：通过如下3个步
(1)列表
(2)描点：一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理;
(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4.k，b与函数图像所在象限：
y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图像是是一条经过原点的直线)
当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b0时，直线必通过一、三象限;
当b0时，直线必通过二、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等.
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1.
常用函数图像11
1.一定要留足时间让学生自己作出二次函数的图象
可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。
2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在归纳二次函数性质的`时候，也要充分的相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
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我们的学生已经对反比例函数的概念有了一定的认识，在此基础上我们进行图像和性质的探索，是很好的一节探索课，可以通过探索来发展学生的数学思维，让不同的学生得到不同的发展。这节课主要是通过学生自主探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法。自主探究学习是近年来兴起的一种全新的教学方式，它主要着力于学生的学，鼓励学生以类似科学研究的模式，进行主动探索。它把目标指向学生的创新能力、问题意识，以及关注现实、关注人类发展的意识和责任感的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握。其有利于改变学生学习数学的方式，它强调“做中学”，力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神、动手能力和解决问题的能力。而立足于课堂，深入钻研教材，是数学课堂教学中实施探究性学习的基础。对教学中体会较深的`内容如下：
首先为达到自主探究、培养学生的动手能力、观察能力和问题意识的教学目的，教师要努力为学生创设必要的情境。人们的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力。一节高质量的数学课常常是由好的数学问题启发并激励学生学习的充实过程。因此，我把教学设计的主体“教学情境设计”设计成由若干个有一定逻辑顺序的问题。即通过复习反比例函数的定义，我给出两个反比例函数，画出它的图象。使他们经历观察实验、猜测发现、交流反思等理性思维的基本过程，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神。
其次我感觉准确、美观的画出反比例函数的图像，也应是本节课的难点，原因之一画函数的图像第一步是列表，列表时取哪些点？不取哪些点？取多少？密集程度如何？对刚接触反比例函数的学生来说，都是必须解决好的问题，否则划出的图像必然是五花八门，错误百出。原因之二，学生画函数图像的经验源于正比例函数和一次函数，由于二者的图像均为直线，所以有可能对画反比例函数图像造成一定的干扰。因此我给了学生大约十分钟的时间，并让学生在黑板上去花。在画的过程中问题很多通过问题的出现给予纠正，让学生减少作图中的不必要错误。
最后图画好以后我让学生结合函数观察图像回答了一系列问题，从而让学生总结并归纳出函数的图像和性质，并通过课件呈现，整个过程中学生的参与性很高。为了让学生的思维得到进一步发展我也设计了两个问题，我首先是让学生从对称的角度去观察看能发现什么，然后我让学生在图像上任取一个点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于多少，又有什么发现学生自己总结，再让学生去发现围成的三角形面积是多少。从而得到我们想要的结论。在课前我就想我们这些班的学生能发现出来吗，令我吃惊的是他们没有问题。整节课我都是大胆放手给学生，学生也觉得这样的课堂很容易集中他们的注意力，让他们的大脑真正动起来了。我虽然没有杨东老师的课堂那么精彩，但我觉得我的这一节课也很成功。我上完这节课最大的体会就是深挖教材备好课，在课堂上让学生成为真正的主人，这样的教学才是最有效的。转变学生的学习方式，向四十分钟要效率也是我在平时的教学中一直追求的。虽然总体教学效果很不错，但是我觉得自己还是存在不足：首先：有些急躁，而且还表现出来了，课堂语言不够精炼。其次：对教学时间把握不准，分配我感觉不均。最后：备课这个环节做的不到位，不是没有认真备，而是经验有点缺乏，每次和能手名师的课相比都觉得自己有很多不足之处，今后要加强学习，提高驾驭课堂的能力。
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一、教材分析
这是本章的第二节，研究对象是反比例函数的图像及其性质，其学习以正比例函数的图像及其性质为基础，在学习过程中可以借助前面学习的正比例函数的有关知识和研究方法，确定研究方向，因势利导，从而类比形成新的知识结构体系，整个过程特别注重让学生自己探索发现，培养学生类比、观察、猜想、归纳等独立思考的能力，在函数知识里边，还渗透了数形结合的思想，方程的思想，“运动—变化”的辩证唯物主义思想，并且能进一步加强代数与几何的联系.，可为后阶段学习一次函数、二次函数的有关知识打下良好的基础。
二、学情分析
我校这届学生，多是务工子女，基本能力和技能较低，因此在教学时要为学生创设自主探索合作交流的环境，以直观，操作观察，概括和交流作为重要的活动方式，通过这些活动逐步提高从函数图像中获取信息的能力，提高感知水平。
学生在第一节中已经学习过“正比例函数”的内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上研究讨论反比例函数图像及其性质对后继学习产生积极影响，再说学生可以结合实例经历列表、描点、作图等活动，理解函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动空间，可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的性质。
三、教学目标
1 进一步熟悉画函数图像的主要步骤，能利用描点法正确画出反比例函数的图像。
2 逐步提高从函数图像中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数图像的主要性质。
3 通过类比、观察、猜想、归纳等激发探究新知识的热情，经历体验知识产生、形成和发展的过程，增强学习数学的兴趣。
4 在动手作图的过程中，体会做中学的乐趣，养成勤于动手，乐于探索和与他人合作交流的习惯。
四、教学重点与难点
教学重点：理解反比例函数的图像，掌握反比例函数的性质
教学难点：对反比例函数性质的理解。
五、教法分析和学法指导
本课教学采用探讨研究法、发现法、讲、练结合法.其依据是：
⑴遵循教材的结构特点和学生的认知能力。
⑵教学方法改革发展的新趋势：注重启发式，加强对学生学法的研究和指导。
⑶教师的主导作用和学生的主体参与有机的结合。
六、教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
师：同学们还记得我们学过的正比例函数吗？正比例函数的图像是什么图形？你在画图时需要采用哪几个步骤？
生：记得，是一条经过原点的直线。 （1）列表（2）描点（3）连线
设计意图：回顾正比例函数图像作法的基本步骤，为学习反比例函数的图像和性质做准备。
（二）提出问题，探究新知
师：上节课我们学习了反比例函数的一般解析式是什么？
生： 反比例函数的一般解析式是
师：请同学们来猜想一下反比例函数的图像是什么？让我们一起画个反比例函数的图像看看，好吗？
操 作：同桌两人分别画出反比例函数 或 的.函数图像。（分组进行列表画图）（课前已经准备好方格纸片和彩色笔、铅笔）
按照研究正比例函数图像即一般函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线来画出它们的图像。
以小组为单位，先列出表格，再进行描点、连线。注意：①列表时自变量取值要均匀和对称②x≠0③选整数较好计算和描点。（教师提示）
设计意图：让学生亲自动手操作，会画反比例函数的图像，可以培养学生的动手能力，激发学生学好数学的兴趣，去为发现反比例函数的性质做准备。分组画图的目的是为后面的合作交流做铺垫。采用彩色笔，通过颜色变化，有利于反映和发现问题。
通过学生自己画的图像，经过仔细观察，从而得出反比例函数的图像是双曲线。（教师可做提示一般一个分支取4~6个点）
比 一 比：同桌两人分别画出函数 或 的图像，看谁画得又快又好。（展示学生作品）
设计意图：通过比一比的方式，提高学生的画图技能和计算能力，利用对好作品的展示又可激发学生学习的兴趣，增强自信心。
（三）探索比较，发现规律
师：下面大家分四人一小组讨论，根据大家所画出的函数图像，从以下几个方面出发，你能发现反比例函数的图像及性质有哪些？
1 你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
2 函数图像分别位于哪几个象限？
3 在每一个象限内，y随的x变化有怎样的变化？
设计意图：提高学生从函数图像中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质，体会分类讨论的思想，数形结合思想的运用，并引导学生积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法。
师：讨论结束后，由各小组选代表说说讨论结果。
师生行为：
学生分组针对上面3个问题，结合画出的图形分类讨论，归纳总结出反比例函数的图像的性质：
（1）反比例函数y = （k为常数，k≠0）的图像是双曲线。
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小。
（3）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大。
（四）运用新知、拓展训练
（抢答题）
1.反比例函数的解析式是 。它的图像是 。
2.当k< 0 时，反比例函数 的图像的两个分支分别分布在第 象限内；在每一象限中，y值随x值的增大而 。
3.已知函数 ，如果y随着x增大而减小，那么k的取值范围是 。
4.反比例函数 ，那么在x﹤0时，y的值随x的增大而 。
5．在函数 中，当m= 时，它是反比例函数。y随x的增大而
6． 若两点(x1, y1),(x2, y2)反比例函数 的图像上有，且x1< x2<0，则y1与y2的关系是( )
A. y1> y2 B. y1< y2
C. y1＝y2 D.大小无法确定
设计意图：检验学生对本课知识的掌握及应用情况。通过练习，既培养学生思维的敏捷性，又激发学生的参与和竞争意识.在抢答过程中，教师给予适当评讲，并积极调动学生的参与热情，让整个课堂充满活跃的气氛.
（五）归纳总结，布置作业
师：让学生谈谈收获（讨论后请几位学生发言）
1、你学到了哪些知识？
2、你还有哪些疑问？
设计意图：通过学生自由讨论、总结、概括本节所学习的内容，使学生进一步了解反比例函数的图像及其性质，让他们体验到学习数学的快乐，在交流中与全班同学分享。
思考题：
仔细观察反比例函数的图像，除已学过的性质外，还可以观察出什么特别的性质？
设计意图：此题是一个简单的开放性问题，为学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生设计，目的是为他们提供一定的学习材料，给学生较大的思维空间和思考时间，培养其发散思维，鼓励学生在学习中发现和探索.
七、反思
1、同桌互动画图像，改变传统的被动接受知识的教学方式，鼓励学生自己探索、合作交流。对于我班部分个别学生来说画图技巧较弱，课后需再加强辅导。
2、由于本节课的内容与正比例函数有着密切联系，学生能在旧知识中寻找模型，而最后的运用新知、拓展训练中的第6题，提升了一定的高度，有一小部分同学不那么容易理解，需要进行适当的点拨。
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【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.
3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.
【过程与方法】
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.
【情感态度】
进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.
【教学重点】
①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.
【教学难点】
能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
一、情境导入，初步认识
请同学们完成下列问题.
1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.
2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.
3.画y=-2x2+6x-1的图象.
4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的.图象.
5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？
【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.
二、思考探究，获取新知
探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？
学生回答、教师点评：
一般分为三步：
1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.
2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.
3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.
探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？
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教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图像的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对一次函数的图象是一条直线应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用 “ 两点确定一条直线 ” ，很快做出一次函数的图像。在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。
根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整 . 如第一环节：探究新知，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直切主题，如提出问题：一次函数的代数形式是 y=kx+b ，那么，一个一次函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究一次函数对应的图形特征 — 本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中我通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生观察一次函数的图像，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识。本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的'确定需要两个条件，能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。
由于这节课的知识容量较大，而且内容较难，我们所用的学案就能很好地帮助学生消化理解该知识，。在教学过程中，让学生亲自动手、动脑画图的方式，通过教师的引导，学生的交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。但还存在着不尽人意的地方，由于课的内容容量较大，对于有些知识点，如 “ 随着 x 值的增大， y 的值分别如何化？ ” ，本应给学生更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识，但由于时间紧，学生的这一活动开展的不充分。课堂气氛不够活跃，个别学生的主动性、积极性没有充分调动起来。这是今后教学中应该注意的问题。
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