高中圆的方程练习题

2021-06-14 试题

　　一、填空题

　　1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.

　　[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.

　　又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，

　　解得a=2或a=-(舍).

　　所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.

　　[答案] (x-2)2+(y-1)2=1

　　2.(2014南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.

　　[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，

　　该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，

　　因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1).

　　[答案] (0,1)

　　3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.

　　[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).

　　半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

　　[答案] (x-1)2+(y+4)2=8

　　4.(2014江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________.

　　[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，

　　y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |

　　=|7-sin (-7-(tan =2).

　　[答案] 7-

　　5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.

　　[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号.

　　[答案] 9

　　6.(2014南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.

　　[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，

　　而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.

　　[答案] x+y-3=0

　　7.(2014泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a=________.

　　[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.

　　(1)求圆C的方程;

　　(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.

　　[解] (1)设圆心C(a，b)，

　　由题意得解得

　　则圆C的方程为x2+y2=r2，

　　将点P的坐标代入得r2=2，

　　故圆C的方程为x2+y2=2.

　　(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，

　　=(x-1，y-1)(x+2，y+2)

　　=x2+y2+x+y-4=x+y-2.

　　令x=cos ，y=sin ，

　　=x+y-2=(sin +cos )-2

　　=2sin-2，

　　所以的最小值为-4.

　　10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).

　　(1)求圆的方程;

　　(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;

　　(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.

　　[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，所以圆的方程为x2+y2=4.

　　(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的'距离等于半径2，即=2，解得b=4.

　　(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2=2.

　　二、填空题

　　1.在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.

　　[解析] 圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=10，则圆心(1,3)，半径r=，

　　由题意知ACBD，且|AC|=2，|BD|=2=2，

　　所以四边形ABCD的面积为S=|AC||BD|

　　=22=10.

　　[答案] 10

　　2.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3,0)在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________.

　　[解析] 圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32，首先由点P在圆内，则(3-m)2+(0-2)232，解得3-2，圆C与直线y=-2x+4不相交，所以t=-2不符合题意，舍去.

　　故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

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