初中函数应用题及答案

2021-06-13 试题

　　1、(2014济宁第8题)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题

　　A.m

　　【考点】：抛物线与x轴的交点.

　　【分析】：依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图，根据二次函数的增减性求解.

　　【解答】：解：依题意，画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象，

　　函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(a

　　方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.

　　由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少

　　故选A.

　　【点评】：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想.解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算.

　　2、(2014年山东泰安第20题)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如下表：

　　X﹣1 0 1 3

　　y﹣1 3 5 3

　　下列结论：

　　(1)ac

　　(2)当x1时，y的值随x值的增大而减小.

　　(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;

　　(4)当﹣10.

　　其中正确的个数为()

　　A.4个B.3个C.2个D.1个

　　【分析】：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.

　　【解答】：由数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a又x=0时，y=3，所以c=30，所以ac0，故(1)正确;

　　∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，当x1.5时，y的值随x值的增大而减小，故(2)错误;

　　∵x=3时，y=3，9a+3b+c=3，∵c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根，故(3)正确;

　　∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，x=﹣1时，ax2+(b﹣1)x+c=0，∵x=3时，ax2+(b﹣1)x+c=0，且函数有最大值，当﹣10，故(4)正确.

　　故选B.

　　【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

　　3、(2014年山东烟台第11题)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：

　　①4a+b=0;②9a+c③8a+7b+2c④当x﹣1时，y的.值随x值的增大而增大.

　　其中正确的结论有()

　　A.1个B.2个C.3个D.4个

　　【分析】：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c0，即9a+c由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a0，于是有8a+7b+2c由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x2时，y随x的增大而减小.

　　【解答】：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确;

　　∵当x=﹣3时，y0，9a﹣3b+c0，即9a+c3b，所以②错误;

　　∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1，0)，a﹣b+c=0，

　　而b=﹣4a，a+4a+c=0，即c=﹣5a，8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

　　∵抛物线开口向下，a0，8a+7b+2c0，所以③正确;

　　∵对称轴为直线x=2，

　　当﹣12时，y随x的增大而减小，所以④错误.故选B.

　　【点评】：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0，c);抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac0时，抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac0时，抛物线与x轴没有交点.

　　4、(2014威海第11题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，则下列说法：

　　①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时，y=2a;④am2+bm+a0(m﹣1).

　　其中正确的个数是()

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考点】：二次函数图象与系数的关系.

　　【分析】：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

　　【解答】：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确;

　　该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确;

　　当x=1时，y=2a+b+c，

　　∵对称轴是直线x=﹣1，

　　，b=2a，

　　又∵c=0，

　　y=4a，故③错误;

　　x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

　　x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又x=﹣1时函数取得最小值，

　　a﹣b+c

　　∵b=2a，

　　am2+bm+a0(m﹣1).故④正确.

　　故选：C.

　　【点评】：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

　　5、(2014宁波第12题)已知点A(a﹣2b，2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()

　　A.(﹣3，7)B.(﹣1，7)C.(﹣4，10)D.(0，10)

　　【考点】：二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称.

　　【分析】：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可.

　　【解答】：解：∵点A(a﹣2b，2﹣4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，

　　(a﹣2b)2+4(a﹣2b)+10=2﹣4ab，

　　a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，

　　(a+2)2+4(b﹣1)2=0，

　　a+2=0，b﹣1=0，

　　解得a=﹣2，b=1，

　　a﹣2b=﹣2﹣21=﹣4，

　　2﹣4ab=2﹣4(﹣2)1=10，

　　点A的坐标为(﹣4，10)，

　　∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，

　　点A关于对称轴的对称点的坐标为(0，10).

　　故选D.

　　【点评】：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键.

　　6、(2014温州第10题)矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=(k0)中k的值的变化情况是()

　　A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大

　　【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质.

　　【分析】：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周长始终保持不变，则a+b为定值.根据矩形对角线的交点与原点O重合及反比例函数比例系数k的几何意义可知k=ABAD=ab，再根据a+b一定时，当a=b时，ab最大可知在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.

　　【解答】：解：设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B.

　　∵矩形ABCD的周长始终保持不变，

　　2(2a+2b)=4(a+b)为定值，

　　a+b为定值.

　　∵矩形对角线的交点与原点O重合

　　k=ABAD=ab，

　　又∵a+b为定值时，当a=b时，ab最大，

　　在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.

　　故选C.

　　【点评】：本题考查了矩形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义及不等式的性质，有一定难度.根据题意得出k=ABAD=ab是解题的关键.

　　7、(2014年山东泰安第17题)已知函数y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m

　　A.m+n0 B m+n0 C.m-n0 D.m-n0