初三数学练习题命题与证明试题

2021-06-10 试题

  一、选择题(每小题3分,共30分)

  1.(2013湖南湘潭中考)下列命题正确的是()

  A.三角形的中位线平行且等于第三边

  B.对角线相等的四边形是等腰梯形

  C.四条边都相等的四边形是菱形

  D.相等的角是对顶角

  2.有如下命题:①无理数就是开方开不尽的数;②一个实数的立方根不是正数就是负数;

  ③无理数包括正无理数、0、负无理数;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是l或0.其中错误的个数是()

  A.1 B. 2 C.3 D.4

  3.下 列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( )

  A .一组对角相等 B.对角线互相平分

  C.一组对边相等 D.对角线互相垂直

  4.(2013四川攀枝花中考)下列命题错误的是( )

  A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半

  B.矩形的对角线相等

  C.有两个角相等的梯形是等腰梯形

  D.对角线相等的菱形是正方形

  5.若四边形的两条对角线相等,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )

  A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

  6.如图,在 中, 的垂直平分线分别交 于点 , 交 的延长线于点 ,已知 则四边形 的面积是()

  A. B. C. D.

  7.(2013四川遂宁中考)如图,在 中, 90, 30,以点 为圆心,任意长为半径画弧分别交 于点 和 ,再分别以点 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧交于点 ,连接 并延长交 于点 ,则下列说法中正确的个数 是( )

  ① 是 的平 分线;② 60③点 在 的中垂线上;④

  .

  A.1 B.2 C.3 D.4

  8.用反证法证明在 中,若 ,则 ,第一步应假设()

  A. B. C. D.

  9.如图,将一个长为 ,宽为 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的

  连线(虚线)剪下,将剪下的部分打开,得到的菱形的面积为( )

  A. B. C. D.

  10.如图,是一张矩形纸片 , ,若将纸片沿 折叠,使 落在 上,点 的对应点为点 .若 ,则 ()

  A. B. C. D.

  二、填空题(每小题3分,共24分)

  11.如图,在四边形 中,已知 ,再添加一个条件___________(写出一个即可),则四边形 是平行四边形.(图形中不再添加辅助线)

  12.命题:如果 那么 的逆命题是________________,该命题是_____命题(填真或假).

  13.如图,在菱形 中,对角线 相交于点 ,若再补充一个条件能使菱形 成为正方形,则这个条件是 .(只填一个 条件即可)

  14.如图,在 中, , 分别是 和 的角平分线,且 , ,则 的周长是_______ .

  15.如图,矩形 的对角线 , ,则图中五个小矩形的周长之和为_______.

  16.如图,在等腰梯形 中, , , , , ,则上底 的长是_______ .

  17.(2013山东莱芜中考改编)下列命题是真命题的是 .

  ① 与 互为倒数;②若 ,则 ;③梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半.

  18 .写一个与直角三角形有关的 定理 .

  三、解答题(共66分)

  19.(6分)如图,在 中, 两点分别在 和 上,求证: 不可能互相平分.

  20.(8分)已知 是整数, 能被3整除,求证: 和 都能

  被3整除.(用反证法证明)

  21.(8分)如图,在平行四边形 中,对角线 相交于点 , 过点 且分别交 于点 .求证: .

  22.(10分)如图,在 中, , 的垂直平分线 交 于点 ,交 于点 ,点 在 上,且 .

  ⑴求证:四边形 是平行四边形.

  ⑵当 满足什么条件时,四边形 是菱形?并说明理由.

  23.(10分)如图,在平行四边形 中, 是对角线 上的两点,且 .求证: .

  24.(12分)如图, , 是 上一点, 于点 , 的延长线 交 的延长线于点 .求证: 是等腰三角形.

  25.(12分)如图,在 中, ,垂足为 , 是 外角 的平分线, ,垂足为 .

  (1)求证:四边形 为矩形.

  (2)当 满足什么条件时,四边形 是一个正方形?并给出证明.

  第2章 命题与证明检测题参考答案

  1.C 解析:因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半,所以选项A错误;因

  为对角线相等的'四边形还有矩形等,所以选项B错误;因为相等的角有很多,不一定都是

  对顶角,所以选项D错误.故选C.

  2.D 解析:①开方开不尽的数是无理数,但无理数就是开方开不尽的数是错误的,例如 ,故①错误;②一个实数的立方根不光是正数、负数,还可能是0,故②错误;③无理数包括正无理数和负无理数,不包括0,故③错误;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是l,0或 ,故④错误.故选D.

  3.B 解析:利用平行四边形的判定定理知B正确.

  4.C 解析:直角梯形有两个角相等,都是90,但它不是等腰梯形,故选项C是错误的.

  5.C 解析:由四边形的两条对角线相等,知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等,即所得四边形是菱形.

  6.A 解析:∵ 是 的垂直平分线, 是 的中点, ,

  , 四边形 是矩形.

  ∵ , , , ,

  ,

  , 四边形 的面积为 .

  7.D 解析:①根据作图的过程可知, 是 的平分线,故①正确.

  ②因为在△ 中, 90, 30,所以 60.

  又因为 是 的平分线,所以 30,

  所以 90 60,故②正确.

  ③因为 30,所以 ,所以点 在 的中垂线上,故③正确.

  ④因为在 中, 30,所以 ,

  所以 ,所以 .

  因为 ,

  所以 ,

  所以 ,故④正确.

  综上所述,正确的结论是①②③④,共有4个,故选D.

  8.D 解析: 与60的大小关系有 , , 三种情况,因而 的反面是 .因此用反证法证明 时,应先假设 .故选D.

  9.A 解析:由题意知 , ,

  10.A 解析:由折叠的性质知 ,则四边形 为正方形,

  .

  11. 或 或 (答案不唯一)

  12.如果 ,那么 假 解析:根据题意知,命题如果 ,那么 的条件是 ,结论是 ,故逆命题是如果 ,那么 ,该命题是假命题.

  13. (或 , 等)

  14.5 解析:∵ 分别是 和 的角平分线,

  , .

  ∵ , , , ,

  , , ,

  的周长 .

  15.28 解析:由勾股定理得 ,又 ,所以 ,

  所以五个小矩形的周长之和为 .

  16.2 解析: .

  ∵ 在等腰梯形 中, ,

  .

  ∵ , .

  .

  17. ①② 解析:对于③,因为 ,其中 分别是梯形上底的长、下底的长及高,而梯形中位线 ,所以 ,即梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积.

  18.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 解析:本题是一道开放型题目,只要保证命题是真命题即可.

  19.证明:假设 可以互相平分,如图,

  连接 ,则四边形 是平行四边形,

  ,这与 相矛盾.

  不可能互相平分.

  20.证明:如果 不都能被3整除,那么有如下两种情况:

  (1) 两数中恰有一个能被3整除,

  不妨设 能被3整除, 不能被3整除,

  令 ( 都是整数),

  于是 ,

  不能被3整除,与已知矛盾.

  (2) 两数都不能被3整除,令 ( 都是整数),则

  ,

  不能被3整除,与已知矛盾.

  由此可知, 都是3的倍数.

  21.证明:∵ 四边形 是平行四边形, ,

  ,故 .

  22.(1)证明:由题意知 , , .

  ∵ , .

  又∵ , , , 四边形 是平行四边形 .

  (2)解:当 时,四边形 是菱形 .理由如下:

  ∵ , .∵ 垂直平分 , .

  又∵ , , , 平行四边形 是菱形.

  23.证明:∵ 四边形 是平行四边形,

  .

  在 和 中, ,

  , .

  24.证明:∵ , .

  ∵ 于点 , ,

  . .

  ∵ , . △ 是等腰三角形.

  25.(1)证明:在△ 中, , , .

  ∵ 是△ 外角 的平分线,

  , .

  又∵ , , ,

  四边形 为矩形.

  (2)解:给出正确条件即可.

  例如,当 时,四边形 是正方形.

  ∵ , 于点 , .

  又∵ , .

  由(1)知四边形 为矩形, 矩形 是正方形.

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