分析解分式方程教学的案例论文

2021-07-08 论文

　　波利亚曾说过：“解决问题的成功要靠正确的转化，化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题的一种数学思想方法。”本课例解分式方程的基本思想是通过“转化”，尝试用问题设问的形式，驱动学生思考，在问题的解决过程中，引导学生理解解分式方程的一般步骤。学会将分式方程转化为整式方程，在解决问题的过程中体验增根产生的原因及如何检验增根。

　　一、预习导学，呈现问题导入新课

　　思考：你能正确识别分式方程吗？

　　下列关于x的方程，其中是分式方程的有______。（填序号）

　　问题1 什么是分式方程？

　　问题2 为什么方程（4）不是分式方程？它是什么方程？如何看待其分母中的字母？

　　引导学生思考并归纳总结，分式方程的特点是：①含分母；②分母中含有未知数，分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志。本例中的（4）是关于x的方程，其他字母皆为字母系数，通过本例辨析分式方程与含有字母已知数方程的区别。

　　设计意图在设疑解惑中引导学生关注分式方程形式上的定义，不是简单让学生重复概念，而是展示一组方程让学生识别，在答疑辨析中调动学生对分式方程概念的理解，加深理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数，设计的方程（3）（4）（6）用意深刻，是对学生思考提出的发展性目标。

　　二、合作探究，问在知识发生处，点拨释疑

　　·你会解分式方程吗？

　　教师出示问题，学生动手解题，探究体验：

　　比较方程（1）（2）的结果有差异吗？为什么？

　　·为什么x=2不是原方程（2）的根？

　　·产生x=2不是原方程（2）的根的原因是什么？你能用数学语言说明吗？

　　解（2）：方程两边同乘以3（x—2），得3（5x—4）=4x+10—3（x—2），x=2。检验：把x=2代入最简公分母3（x—2）中，3（x—2）=0，x=2称为原方程的增根。

　　·引导学生进一步思考：

　　（1）解分式方程的一般步骤？要求学生自己归纳总结，然后讨论交流。

　　①去分母，方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程；③验根。使得最简公分母为0的根为原方程的增根，必须舍去。

　　学生提出问题，小组合作探究讨论：验根有几种方法？如何检验？

　　适当的练习加强学生对解分式方程的理解，帮助学生深刻理解化分式方程为整式方程的数学思想。

　　（2）呈现错例，分析错误原因。（组织学生开展纠错讨论）

　　①确定最简公分母失误；②去分母时漏乘整式项；③去分母时忽略符号的变化；④忘记验根。

　　设计意图分解因式是要求学生掌握的基本技能，引导学生独立思考，总结归纳解题步骤，对错例进行剖析，加深对知识的理解。纠错是数学解题教学的一种重要学习形式。

　　（3）增根从哪里来？为什么要舍去？

　　（4）下面分式方程的解法是否正确？谈谈你的想法？

　　引导学生议一议，深入思考：你对上述解法有什么看法？还有其他解法吗？通过解题表象再深入思考解分式方程的本质。

　　分式方程的增根是它变形后整式方程的根，但不是原方程的根，产生增根的原因是在分式方程的左右两边乘以为0的最简公分母造成的，所以使最简公分母为0的未知数的值均有可能为增根。著名教学者李镇西说过：“能让学生自己完成的，教师绝不帮忙。”教师引路设问，创设质疑讨论的空间，深化对解分式方程本质的理解，拓宽学生的视野。

　　三、灵活应用，拓展思维

　　思考 “无解”与该分式方程有“增根”的意义一样吗？

　　分析方程两边乘以（x+2）（x—2），可得2（x+2）+ax=3（x—2），（a—1）x=—10。显然a=1时原方程无解。当（x+2）（x—2）=0，即x=2或x=—2时，原方程亦无解，当x=2时，a=—4>：请记住我站域名/<；当x=—2时，a=6。所以当a=1，—4，6时，原方程无解。

　　设计意图分式方程的增根问题是学生理解的'难点，部分学生解题过程中存有疑惑，还会与无解相混淆。本课例设计直击难点，帮助学生梳理如何讨论增根问题，并能利用其解决方程无解的相关问题。教师运用问题串形式组织学生解分式方程不是表面上培养细心，明确算理，而是像几何推理那样步步有据，启发学生经过自己的独立思考去寻求解决问题方案。

　　本课设计尝试从数学的角度提出问题，理解问题。引导学生理解解分式方程的途径是通过转化为整式方程来求解。在解分式方程的过程中体验增根的由来。总结出解分式方程的一般步骤和验根的方法，通过灵活应用实例分析把方程的相关知识融会贯通，在富有挑战性问题的引导下，学生在探究、答疑、辨别中体会到，提出一个有价值的问题有时比解决一个问题更重要，本课例的设计让学生学会质疑，学会思考，真正在思维的层面上学会数学解题。

　　本课例随着提出问题的深入，帮助学生从新知识的视角，在方法的层面上分析，同时也唤醒了原有解整式方程及分式相关内容的记忆，较好地锻炼了学生思维的深刻性、广阔性，在解题过程中不断涌现新问题，通过课堂思维对话及思考，引导学生明白其所以然，激发学生发现和创造的欲望，提高了学生学习数学的实效性、时效性和发展性。

　　本课例的最大特点就是把教学过程变成了学生的发现过程，在设问的引导下围绕解分式方程过程层层展开，仔细品味驱动式的数学问题串内涵，我们会发现学生收获的不仅仅是如何解分式方程，还有发现理解能力、积累数学活动经验和数学思考经验。如何从分式方程迁移至整式方程，如何寻根探源去探究增根产生的原因，并如何去检验增根，这种能力是不会随时间的迁移而消失的，学生探究能力的培养才是真正实现课堂效益的最终目的。

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