《非线性物理》课程论文
混沌分形研究
摘 要：本文介绍分形理论的产生与发展现状，让初学者了解这一非线性科学中的又一角色在我们认识复杂世界的思维过程中的重要性，让我们再一次看到自然界的混沌性。希望更多的有志青年投入到贯穿各个领域的非线性科学的研究中。
非线性 分形理论概述 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论 (fractal theory)。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分行理论：
自相似原则：线性分形又称为自相似分型。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花路线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。 这里再进一步介绍分形的分类，根据自相似性的程度，分形可以分为有规分形和无规分形，有规分形是指具体有严格的自相似性，即可以通过简单的数学模型来描述其相似性的分形，比如三分康托集、Koch曲线等；无规分形是指具有统计学意义上的自相似性的分形，比如曲折连绵的海岸线，漂浮的云朵等。
分维作用：分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。分维，又称分形维或分数维，通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？
显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数。记作Df，一般的表达式为：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取对数并整理得Df=lnK/lnL，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。显然，Df在一般情况下是一个分数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算，英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就确定了。
几种典型的分形：
三分康托集：
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发 。
区间不断地去掉部分子区间的过程
三分康托集的构造过程 构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，
[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
1904年，瑞典数学家柯郝构造了 “Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维，并且生成的图形的面积为零。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的`构造方法。
依此类推。
三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 6 次的图形)。Julia 集
分形理论的发展
分形理论自从诞生之后就得到了迅速的发展，并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域都获得了广泛的应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。人们在自然、社会、思维等各个领域都发现了分形现象，出现了诸如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等，发现了材料学、化学、天文学中的分形及思维分形、情报分形等等。
人们现在已经认识到分形理论所揭示的自相似现象和混沌、破碎现象在客观世界中是普遍存在的。
分形的概念和思想现正在被人们抽象为一种科学方法论，这就是分形方法论。它的内容主要包括以下两点：第一，以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器，通过认识部分来反映和认识整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识；第二，运用分形理论的思想和方法，从无序中发现有序，揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复杂现象内部所蕴涵的规律。
分形方法论从本质上看也是一种系统方法，研究分形现象需要系统的观点和方法。分形方法论的产生是属于清算还原论、倡导系统方法论这一科学发展总趋势的产物，它是复杂性。
研究的一个方面军，是近30多年来提出的处理复杂性的理论方案之一。分形学理论和自组织理论、混沌理论密切相关，它与混沌理论及孤子理论被人们誉为现代非线性科学的三大前沿。
分形理论的企业经济学观点外延：人类社会不同的阶层具有自相似的结构，仅此而言，非线性问题的研究对社会的进步与发展有着积极的推动作用。随着知识经济时代的到来，非线性科学在各个学科领域内将得到更为广泛的应用与发展，特别是企业组织在网络经济环境下的变革方面尤为突出。凯思斯学派认为，社会商品产量N完全由社会有效需求所决定，此为决定论的观点。分形论则认为，社会总产出与社会总需求的关系是非常复杂的。它们的关系可能是周期性的，也可能是出现某中混沌局面。对于当前国际金融风暴的形式下，该混沌现象直接影响到企业组织的发展与优化。
分形理论的管理学应用： 管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息告诉公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。 分形理论的管理学应用：管理科学是一门综合性学科，其内涵十分丰富。它不仅涉及到生产关系与上层建筑，也涉及到生产力的组织与应用。近年来，由于城市的快速发展.随之而来的是社会治安、交通拥挤、环境污染、人口控制、能源紧缺等一系列问题。用分形论原理管理城市是近年来崛起的管理科学中的一个分支。城市建筑、道路分布、商业网点布局、生活服务设施建设、信息告诉公路建设等在一定程度上满足了分形结构的研究理论范畴。在管理科学领域内，其组织建设、管理方法与手段等方面都表现出一定的层次、结构、功能和信息的相似性。从最底层管理到最高层管理、从局部到整体、从政务与科技管理到经济财务管理，也都体现着一定的自相似性。可以认为，在知识经济社会里，分形理论将成为管理科学的基础。
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