函数的定义域教学设计

2021-06-11 教学设计

  一. 教学内容:

  函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

  二. 教学目标:

  理解函数的性质,能够运用函数的性质解决问题。

  三. 教学重点:函数性质的运用.

  四. 教学难点:函数性质的理解。

  [学习过程]

  一、知识归纳:

  1. 求函数的解析式

  (1)求函数解析式的常用方法:

  ①换元法( 注意新元的取值范围)

  ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)

  ③整体代换(配凑法)

  ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)

  (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。

  (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

  2. 求函数的定义域

  求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况:

  ①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;

  ②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;

  ③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;

  ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;

  ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题.

  3. 求函数值域(最值)的一般方法:

  (1)利用基本初等函数的值域;

  (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);

  (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 型的函数)

  (4)函数的单调性:特别关注 的图象及性质

  (5)部分分式法、判别式法(分式函数)

  (6)换元法(无理函数)

  (7)导数法(高次函数)

  (8)反函数法

  (9)数形结合法

  4. 求函数的单调性

  (1)定义法:

  (2)导数法:

  (3)利用复合函数的单调性:

  (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论:

  ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;

  ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;

  ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性;

  (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等

  (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。

  5. 函数的奇偶性

  奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;

  f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。

  判别方法:定义法,图象法,复合函数法

  应用:把函数值进行转化求解。

  6. 周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

  其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.

  应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。

  二、典型例题分析

  例1. 若集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。

  分析:解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:设A、B是两个集合,对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f,若集合B中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例,集合A={a1,a2,a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形,由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N=222=8个。

  例2. 线段|BC|=4,BC的中点为M,点A与B、C两点的距离之和为6,设|AM|=y,|AB|=x,求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。

  解:1若A、B、C三点不共线,如图所示,由余弦定理可知,

  x2=22+y2-4ycosAMB ①

  (6-x)2=22+y2-4ycos(180-AMB) ②

  ①+② x2+(6-x)2=2y2+8 y2=x2-6x+14

  又 x2-6x+14=(x-3)2+5恒正,

  又三点A、B、C能构成三角形

  1<x<5

  2若三点A、B、C共线,由题意可知,

  x+4=6-x,x=1 或4+6-x=x x=5

  综上所述:

  说明:第一,首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上,因为由题意,A、B、C不一定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情形来讨论。第二,实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

  例3. 设f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象。

  解:(1)当x-1时,设f(x)=x+b

  ∵射线过点(-2,0) 0=-2+b即b=2,f(x)=x+2

  (2)当-11时,设f(x)=ax2+2

  ∵抛物线过点(-1,1),1=a(-1)2+2,即a=-1

  f(x)=-x2+2

  (3)当x1时,f(x)=-x+2

  综上可知:f(x)= 作图由读者来完成。

  例4. 求下列函数的定义域

  (1) (2)

  解:(1)

  x4或x-1且x-3,即函数的定义域为(-,-3)(-3,-1)[4,+]

  (2) ,则

  0x2-3x-108,即

  -3x<-2或5<x6即定义域为[-3,-2](5,6)

  说明:求函数的定义域,我们常常可以从以下三个方面来考虑:若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

  变、已知函数f(x)的定义域为[-1,4],求 的定义域。

  解: ,则

  又 , 或

  则 或 即为所求函数的定义域。

  说明:此题实质上是求复合函数的定义域,我们把 看成是由y=f(u)、 两个函数复合而成的,因为-1u<4,则 ,从而求出x的范围,另外,对不等式进行倒数运算时,应注意不等式两边必须同号,取倒数后不等号的方向改变,这里也是学习时常常容易发生错误的地方,应加以重视。

  例5. 若对于任何实数x,不等式: 恒成立,求实数a的取值范围。

  解:令f(x)=|x-1|+2|x-2|,去绝对值把f(x)表示成分段函数后为

  5-3x x<1

  f(x)= 3-xx2

  3x-5 x>2

  作出y=f(x)的图象如图,由此可知f(x)的最小值为1,f(x)>a对一切实数x恒成立,则a<1。

  说明:该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁,而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题,这种解题思想应引起我们的注意。另外,对于函数f(x)=|x-1|+2|x-2|只要把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的所有性质,包括函数的单调区间,值域等一切问题都可以迎刃而解了。

  例6. 求函数 的值域。

  解:令 ,则13-4x=t2

  该二次函数的对称轴为t=1,又t0由二次函数的性质可知y4,当且仅当t=1即x=3时等式成立,原函数的值域为(-,4)。

  说明:对于所有形如 的函数,求值域时我们可以用换元法令

  转化为关于t的二次函数在区间[0,+)上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如:已知f(x)的值域为 ,试求函数 的值域。该题我们只需要把f(x)看成是一个变量,则求值域时仍可用上述换元法,但是如果被开方数不是关于x的'一次式,而含x的平方项,则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域,若令 ,则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围:-22,则-11的话,我们就可以用三角换元:令 [0,],问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时,要注意的限制条件,因为当取遍0到之间的每一个值时, 恰好可以取遍-1到1之间的每一个值,若不限制的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。

  例7. 求下列函数的最值。

  (1) (2)

  解:(1)先求出函数的定义域:

  -27,又在区间[-2,7]上函数 单调递增, 单调递增,所以 在定义域内也单调递增。

  当x=-2时, ;当x=7时,

  (2)∵ 0 y2=x2(1-x2)由基本不等式可知:

  y2=x2(1-x2) ,又y, 。

  说明:对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式,问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”的条件,特别是要注意等号能否成立。

  例8. 设a>0,x[-1,1]时函数y=-x2-ax+b有最小值-1,最大值1,求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

  解:

  ∵a>0, <0,又定义域为[-1,1]

  x=1时 ,即-1-a+b=-1 a-b=0

  下面分a的情形来讨论:

  1当0> -1即0<a2时,

  当 时, 即 ,则

  a2+4a-4=0,

  又a(0,2),则

  2当 <-1,即a>2时,当x=-1时

  -1+a+b=1,a+b=2 又a=b a=1 与a>2矛盾,舍去

  综上所述:x=1时, , 时 。

  例9. 已知函数y=f(x)= (a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f(1)

  (1)试求函数f(x)的解析式;

  (2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由

  解:(1)∵f(x)是奇函数,

  f(-x)=-f(x),即

  c=0,∵a0,b0,x0,f(x)= 2 ,

  当且仅当x= 时等号成立,于是2 =2,a=b2,

  由f(1)< 得 < 即 < ,2b2-5b+2<0,解得 <b<2,又bN,b=1,a=1,f(x)=x+

  (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)的图象上,则

  消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1

  y=f(x)的图象上存在两点(1+ ,2 ),(1- ,-2 )关于(1,0)对称

  例10. 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2-3)+f(4m-2mcos)f(0)对所有[0, ]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由

  解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+)上是增函数,f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos2-3)f(2mcos-4m),

  即cos2-32mcos-4m,即cos2-mcos+2m-2

  设t=cos,则问题等价地转化为函数

  g(t)?=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正

  当 0,即m0时,g(0)=2m-21与m0不符;

  当01时,即02时,g(m)=- +2m-20

  4-2 4+2 ,?4-2 2

  当 1,即m2时,g(1)=m-11 m2

  综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m4-2

  另法(仅限当m能够解出的情况)cos2-mcos+2m-20对于[0, ]恒成立,

  等价于m(2-cos2)/(2-cos) 对于[0, ]恒成立

  ∵当[0, ]时,(2-cos2)/(2-cos) 4-2 ,

  m4-2

  例11. 设a为实数,记函数f(x)=a 的最大值为g(a)。

  (1)设t= ,求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数m(t);

  (2)求g(a);

  (3)求满足g(a)=g( )的所有实数a.

  解:(1)∵t=

  要使t有意义,必须有1+x0且1-x0,即-11.

  ∵t2=2+2 [2,4],t ……①

  t的取值范围是[ ,2]由①得 = x2-1

  m(t)=a( t2-1)+t= at2+t-a, t[ ,2]

  (2)由题意知g(a)即为函数m(t)= at2+t-a, t[ ,2]的最大值.

  注意到直线t=- 是抛物线m(t)= at2+t-a的对称轴,分下列情况讨论.

  当a0时,函数y=m(t), t[ ,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由t=- 0知m(t)在[ ,2]上单调递增,

  g(a)=m(2)=a+2.

  当a=0时,m(t)=t, t[ ,2], g(a)=2.

  当a0时,函数y=m(t), t[ ,2]的图像是开口向下的抛物线的一段,

  若有t=- [0, ],即a- ,则g(a)=m( )= .

  若有t=- ( ,2),即a ,则g(a)=m(- )=-a- .

  若有t=-[0, ],即a ,则g(a)=m(2)=a+2.

  综上有g(a)=

  (3)当a- 时,g(a)=a+2 ,

  当 时,-a ,,所以 ,

  g(a)= 2 = .因此当a- 时,g(a).

  当a0时, 0,由g(a)=g( )知a+2= +2解得a=1.

  当a0时, =1,因此a-1或 -1,从而g(a)= 或g( )= .

  要使g(a)=g( ),必须有a- 或 - ,即- -

  此时g(a)= =g( ).

  综上知,满足g(a)=g( )的所有实数a为:- - 或a=1.

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