二元一次方程组教案设计

2021-06-12 教案

　　二元一次方程组是从实际生活中抽象出来的数学模型，它是解决实际问题的有效途径，更是今后学习的重要基础.它是在一元一次方程的基础上来进一步研究末知量之问的关系的，教材通过实例引入方程组的概念，同时引入方程组解的概念，并探索二元一次方程组的解法，具体研究二元一次方程组的实际应用.

　　本章学习重难点

　　【本章重点】会解二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系列出方程组.

　　【本章难点】列方程组解应用性的实际问题.

　　【学习本章应注意的问题】

　　在复习解一元一次方程时，明确一元一次方程化简变形的原理，类比学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法，同时在学习二元一次方程组、三元一次方程组的解法时，要认真体会消元转化的思想原理，在学习用方程组解决突际问题时，要积极探究，多多思考，正确设未知数，列出恰当的方程组，从而解决实际问题.

　　中考透视

　　在考查基础知识、基本能力的题目中，单独知识点考查类题目及多知识点综合考查类题目经常出现，在实际应用题及开放题中大量出现.所以在学习本章内容的过程中一定要结合其他相应的知识与方法，本章是中考的重要考点之一，围绕简单的二元一次方程组的解法命题，能根据具体问题的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是描述现实世界的一个有效模型，并根据具体问题的实际意义用观察、体验等手段检验结果是否合理.考试题型以选择题、填空题、应用题、开放题以及综合题为主，高、中、低档难度的题目均有出现，占4～7分.

　　知识网络结构图

　　专题总结及应用

　　一、知识性专题

　　专题1 运用某些概念列方程求解

　　【专题解读】在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题

　　例1 若 =0,是关于x,y的二元一次方程,则a=_______,b=_______.

　　分析依题意,得解得

　　答案:

　　【解题策略】准确地掌握二元一次方程的定义是解此题的关键.

　　专题2 列方程组解决实际问题

　　【专题解读】方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手;(1)仔细审题，寻找关键词语;(2)采用画图、列表等方法挖掘相等关系.

　　例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天?

　　分析由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成，乙每天完成 .

　　解：设原计划甲做x天，乙做y天，则有

　　解这个方程组，得

　　答：原计划甲做8天，乙做6天.

　　【解题策略】若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位1，然后由时间算出工作效率，最后利用工作量=工作效率工作时间列出方程.

　　二、规律方法专题

　　专题3 反复运用加减法解方程组

　　【专题解读】反复运用加减法可使系数较大的方程组转化成系数较小的方程组，达到简化计算的目的.

　　例3 解方程组

　　分析当方程组中未知数的系数和常数项较大时,注意观察其特点,不要盲目地利用加减法或代入法进行消元,可利用反复相加或相减得到系数较小的方程组,再求解.

　　解:由①-②,得x-y=1,③

　　由①+②,得x+y=5,④

　　将③④联立,得

　　解得即原方程组的解为

　　【解题策略】此方程组属于型,其中| - |=k|a-b|, + =m|a+b|,k,m为整数.因此这样的方程组通过相加和相减可得到型方程组,显然后一个方程组容易求解.

　　专题4 整体代入法解方程组

　　【专题解读】结合方程组的形式加以分析,对于用一般代入法和加减法求解比较繁琐的方程组,灵活灵用整体代入法解题更加简单.

　　例4 解方程组

　　分析此方程组中,每个方程都缺少一个未知数,且所缺少的`未知数又都不相同,每个未知数的系数都是1,这样的方程组若一一消元很麻烦,可考虑整体相加、整体代入的方法.

　　解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,

　　即x+y+z+m=17,⑤

　　⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.

　　⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.

　　所以原方程组的解为

　　专题5 巧解连比型多元方程组

　　【专题解读】连比型多元方程组通常采用设辅助未知数的方法来求解.

　　例5 解方程组

　　解:设 ,

　　则x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,

　　三式相加,得x+y+t= ,

　　将x+y+t= 代入②,得 =27,

　　所以k=6,所以

　　②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.

　　所以原方程组的解为

　　三、思想方法专题

　　专题6 转化思想

　　【专题解读】对于直接解答有难度或较陌生的题型，可以根据条件，将其转化成易于解答或比较常见的题型.

　　例6 二元一次方程x+y=7的非负整数解有 ( )

　　A.6个

　　B.7个

　　C.8个

　　D.无数个

　　分析将原方程化为y=7-x,因为是非负整数解,所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,与之对应的y为7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8个非负整数解.故选C.

　　【解题策略】对二元一次方程求解时,往往需要用含有一个未知数的代数式表示出另一个未知数,从而将求方程的解的问题转化为求代数式的值的问题.

　　专题7 消元思想

　　【专题解读】将未知数的个数由多化少,逐一解决的思想即为消元思想.

　　例7 解方程组

　　分析解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法,关键是消元，把三元变为二元，再化二元为一元，进而求解.

　　解法1:由③得z=2x+2y-3.④

　　把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,

　　即5x+6y=17.⑤

　　把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,

　　即5x+9y=23.⑥

　　由⑤⑥组成二元一次方程组解得

　　把x=1,y=2代入④,得z=3.

　　所以原方程组的解为

　　解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦

　　由②+③2,得5x+9y=23.⑧

　　同解法1可求得原方程组的解为

　　解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.

　　把y=2分别代入①和③,得解得

　　所以原方程组的解为

　　【解题策略】消元是解方程组的基本思想,是将复杂问题简单化的一种化归思想,其目的

　　是将多元的方程组逐步转化为一元的方程,即三元二元一元.

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