数学立方根教案

2021-06-11 教案

  立方根

  ●教学目标

  (一)教学知识点

  1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.

  2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.

  3.了解立方根的性质.

  4.区分立方根与平方根的不同.

  (二)能力训练要求

  1.在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想.

  2.发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非.

  (三)情感与价值观要求

  当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯,能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点训练学生的类比思想的养成.

  ●教学重点

  立方根的概念.

  ●教学难点

  1.正确理解立方根的概念.

  2.会求一个数的立方根.

  3.区分立方根与平方根的不同之处.

  ●教学方法

  类比学习法.

  ●教具准备

  投影片两张:

  第一张:平方根与立方根的联系与区别(记作2.3 A);

  第二张:补充练习(记作2.3 B).

  ●教学过程

  Ⅰ.新课导入

  上节课我们学习了平方根的定义,若x2=a,则x叫a的平方根,即x= .

  若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢?本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢?

  Ⅱ.新课讲解

  1.[师]请大家先回忆平方根的定义.

  [生]若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根.

  [师]在平方根定义的基础上,若x3=a,则x叫a的什么呢?请大家自己猜想然后讨论得出结果.

  [生]因为x2=a,x叫a的平方根,所以当x的立方等于a时,x叫a的立方根.

  [师]当x4=a时,x叫a的什么根呢?

  [生]当x的4次方等于a时,x叫a的4次方根.

  [师]大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢?

  [生]能.若x的平方等于a,则x叫a的平方根,记作x= ,读作x等于正、负二次根号a,简称为x等于正,负根号a.若x的立方等于a,则x叫a的立方根,记作x= ,读作x等于正、负三次根号a,简称x等于正、负根号a.

  [师]请大家对这位同学的回答展开讨论,小组总结后选代表发言.

  [生甲]我认为这位同学回答得不对.如果x2=a,则x= ,x3=a时,x= 也成立的话,那如何区分平方根与立方根呢?

  [生乙]因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如x3=8,因为23=8,所以x=2,只有一个根而不是2,所以立方根的个数不正确.

  [师]大家的分析非常有道理,请认真看书第13、14页可知,若一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根,记为x= ,读作x等于三次根号a.

  开立方的定义

  [师]大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义.

  [生]求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做开立方,其中a叫做被开方数.

  (2)立方根的性质

  [师]2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是8?

  [生]2的立方等于8,(-2)3=-8,所以没有其他的数的立方等于8.

  [师]-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27?

  [生]-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27.

  [师]0的立方等于多少?0有几个立方根?

  [生]0的立方等于0,0有1个立方根是0.

  [师]从刚才的讨论中,大家总结一下正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几个立方根?

  [生]正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根.

  [师]对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根,0的立方根有一个,是0.

  (3)平方根与立方根的区别与联系.

  [师]我们已经学习了平方根与立方根的定义,并会求某些数的平方根和立方根,下面请大家说说它们的联系与区别.

  [生]从定义来看,若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根;若一个数x的立方等于a,即x3=a,则x叫a的立方根,都是一个数x的乘方等于a,但一个是平方,另一个是立方.

  [生]一个正数的平方根有两个,一个负数没有平方根,零的平方根有一个是零;一个正数的立方根有一个,并且是正数,一个负数有一个负的立方根,零的立方根有一个是零.

  [生]它们的表示方法和读法不同,一个正数a的平方根表示为 ,立方根表示为 .

  [师]很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力,这对大家以后的学习和工作非常有帮助,继续发扬下去,你们都将前途无量,下面我再系统地总结一下.

  投影片:(2.3 A)

  平方根与立方根的联系与区别.

  联系:

  (1)0的平方根、立方根都有一个是0.

  (2)平方根、立方根都是开方的结果.

  区别:

  (1)定义不同:如果一个数的'平方等于a,这个数就叫做a的平方根如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.

  (2)个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根.

  (3)表示法不同

  正数a的平方根表示为 ,a的立方根表示为 .

  (4)被开方数的取值范围不同

  中的被开方数a是非负数; 中的被开方数可以是任何数.

  2.例题讲解

  [例1]求下列各数的立方根:

  (1)-27;(2) ;(3)0.216;(4)-5.

  解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即 =-3;

  (2)因为( )3= ,所以 的立方根是 ,即 = ;

  (3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即 =0.6;

  (4)-5的立方根是 .

  [师]请大家思考下列问题.

  表示a的立方根,则( )3等于什么? 等于什么?

  大家可以先举例后找规律.

  [生]∵23=8, =2,( )3=8;

  ∵(-2)3=-8,

  =-2;( )3=-8;

  ∵( )3= ,

  ∵(- )3=- ,

  ( )3=a.

  [师]若x3=a,则x= ,x3=( )3=a.

  ( )3=a.

  又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a,所以 =a.下面就这两个式子进行练习.

  [例2]求下列各式的值:

  (1) ;(2) ;(3)- ;(4)( )3

  解:(1) = =-2;

  (2) = ;

  (3) = ;

  (4)( )3=9.

  Ⅲ.课堂练习

  (一)随堂练习

  1.求下列各式的值:

  解: ;

  2.一个正方体,它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少?

  解:设正方体的棱长是x厘米,得

  x3=833

  x3=216

  x=6(厘米)

  答:这个正方体的棱长是6厘米.

  (二)补充练习

  投影片:(2.3 B)

  1.求下列各数的立方根:

  0,1,- ,6,- ,0.001

  2.求下列各式的值:

  3.下列说法对不对?

  -4没有立方根;

  1的立方根是

  的立方根是 ;

  -5的立方根是- ;

  64的算术平方根是8.

  1.解:因为03=0,所以0的立方根为0.

  即 =0;

  因为13=1,所以1的立方根为1.

  即 =1;

  因为 的立方根为 .

  即 ;

  6的立方根为 ;

  ∵- 的立方根为- ,即 ;

  ∵0.13=0.001,所以0.001的立方根为0.1,即 =0.1.

  2.解: ;

  3.答案:错.因为负数也有立方根;

  错.因为1的立方根是1;

  错. 的立方根是 ,平方根是

  对.-5的立方根是 ,- ;

  对.

  Ⅳ.议一议

  1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?

  解:设原来的球形储气罐的半径为r1,后来的储气罐的半径为r2,由球体积公式V= r3得

  8r13= r23

  8r13=r23

  (2r1)3=r23

  r2=2r1

  即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

  2.一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍?

  解:设原正方体的棱长为a,后来的正方体的棱长为b,得

  na3=b3

  b= .

  即后来的棱长变为原来的 倍.

  Ⅴ.课时小结

  本节课学了如下内容:

  1.立方根的定义.

  2.立方根的性质.

  3.开立方的定义.

  4.平方根与立方根的区别与联系.

  5.会求一个数的立方根.

  Ⅵ.课后作业

  习题2.5.

  Ⅶ.活动与探究

  1.求下列各式中的x.

  (1)8x3+27=0;

  (2)(x-1)3-0.343=0;

  (3)81(x+1)4=16;

  (4)32x5-1=0.

  分析:先把每一个式子都化成x3= 的形式,然后再根据平方根或立方根的定义来求,

  解:(1)由8x3+27=0.8x3=-27

  x3=

  (2)由(x-1)3-0.343=0

  (x-1)3=0.343

  x-1= =0.7

  x=1.7;

  (3)由81(x+1)4=16

  (x+1)4=

  x+1=

  x= -1x=- 或x=- ;

  (4)由32x5-1=0

  x5=

  x= .

  2.求满足 +1=x的x的值.

  解: =x-1

  x-1=-1或x-1=0或x-1=1

  x=0或x=1或x=2

  3.计算

  (1)- ;

  (2) .

  解:(1) ;

  (2)

  =- .

  ●板书设计

  2.3 立方根

  一、(1)立方根开立方的定义

  (2)立方根的性质

  (3)立方根与平方根的联系与区别

  二、例题讲解(求立方根)

  三、练习

  四、议一议

  五、小结

  六、作业

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