生活中的变量关系教学教案

2021-06-09 教案

  第二章 函数

  2.1生活中的变量关系(学案)

  [学习目标]

  1、知识与技能

  (1)通过实例,了解生活中的变量关系,体会变量与变量之间的相互关系;

  (2)知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系;

  (3)了解两变量之间有函数关系具备的条件;

  2、 过程与方法

  (1)从实践生活中发现变量之间存在关系的过程,感知函数的意义.

  (2)注意收集归纳生活中变量之间的关系.

  3、情感.态度与价值观

  培养善于观察发现的责任心,增强学习的积极性.

  [学习重点]: 现实生活中的实例中的变量关系.

  [学习难点]:对于两变量之间的函数关系的理解.

  [学习教具]:实例图片

  [学习方法]:提供信息材料,自主学习、思考、交流、讨论和概括.

  [学习过程]

  世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系,变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.

  [互动过程1]:

  回顾复习:初中我们学习过哪些函数?

  你能说出函数描述了几个变量之间的关系?它们分别是什么变量?

  因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系?什么是函数吗?

  由于函数的概念比较抽象,不好理解,教师可以提示:

  因变量y随自变量x的变化而变化:即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数.

  函数的概念:

  设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数.x叫做自变量.

  注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.

  [互动过程2]:

  下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪些函数关系?

  1.由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之

  间有没有函数关系?

  你能利用表中的数据画出图形,并观察它们之间的关系吗?.

  这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.

  问题:里程与年份之间是否有函数关系?

  从这里可以看出函数可以关系可以由 表示,也可以用 法,另外,还有 法.

  [互动过程3]:

  2.高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然会想到时间与路程、速度的关系,还有什

  么变量关系?

  [互动过程4]:

  问题:思考储油量 是否为d的函数? 储油量 是否

  为截面半径r的函数呢?

  【课堂练习】教材P.25 练习:

  4.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数,其图像可能是( )

  5.(07江西)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中

  酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确

  的是( )

  A.h2>h1>h4 B.h1>h2>h3 C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1

  数列求和

  数列的求和

  目的:小结数列求和的常用方法,尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

  过程:

  基本公式:

  1.等差数列的前 项和公式:

  2.等比数列的前n项和公式:

  当 时, ① 或 ②

  当q=1时,

  一、特殊数列求和--常用数列的前n项和及其应用:

  例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且 ,

  求数列{an}的前n项和

  ——由题和等差数列的前n项和公式先求通项公式an,再sn

  例3 求和S =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2).

  ——关键是处理好通项:n(n+1)(n+2)=n +3n +2n,

  应用 特殊公式和分组求解的方法。

  二、拆项法(分组求和法):

  例4求数列

  的前n项和。

  ——拆成等比数 和列等差数列 {3n-2},应用公式求和,注意分a=1和 两类讨论.

  三、裂项(相消)法:

  例5求数列 前n项和

  ——关键是处理好通项(裂项).设数列的通项为bn,则

  例6求数列 前n项和

  解:

  四、错位法:

  例7 求数列 前n项和

  解: ①

  两式相减:

  五、作业:

  1. 求数列 前n项和

  2. 求数列 前n项和

  3. 求和: (5050)

  4. 求和:1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)

  5. 求数列1,(1+a),(1+a+a2),……,(1+a+a2+……+an1),……前n项和

  对数函数

  2.3.2 对数函数(三)

  【学习目标】:

  1.掌握对数函数的定义、图像和性质,会运用对数函数的知识解综合题;

  2.了解复合形式的对数函数问题的解法。

  【过程】:

  一、复习引入:

  1.回顾对数函数的定义、图像和性质:

  2.函数 的图象必经过定点

  3.函数 的定义域是为M, 的定义域是为N,那么

  4.函数 的值域是

  二、典例欣赏:

  例1.判断函数 的奇偶性.

  变题1:已知函数 ,若 ,则 _________。

  变题2:已知函数 是奇函数,求实数 的值。

  例2.判断函数 ( )的单调性.

  变题1:求下列函数的单调区间:

  (1) ; (2)

  变题2:已知 在区间 上是增函数,求实数a的取值范围。

  变题3:已知函数 .

  (1)求证:函数 在 内单调递增;

  (2)若关于 的方程 在 上有解,求实数 的取值范围.

  变题4:已知函数 ,

  (1)若定义域为R,求实数a的取值范围;

  (2)若定义域为 ,求实数a的取值集合;

  (3)若值域为R,求实数a的取值范围;

  (4)若值域为 ,求实数a的取值集合.

  【针对训练】 班级 姓名 学号

  1.函数 过定点

  2. 函数 的单调递增区间是

  3.已知函数 是定义在 上的奇函数,且 ,则 时, 的表达式

  4. 已知 ,则

  5.设 ,若函数 有最小值,则不等式 的解集为 。

  6.已知 是 上的减函数,那么 的取值范围是

  7.若函数 的定义域为R,求 的取值范围.

  8.函数 在 上是增函数,求实数 的取值范围.

  9.已知函数 满足:对任意实数 ,当 时,总有 ,求实数a的取值范围。

  10.设 ,且x+2y=1,求函数 的值域.

  11.已知函数 .

  ① 求 的'定义域;② 讨论 的单调性.

  【拓展提高】

  12. 已知函数

  (1)若函数的定义域为 ,求实数 的取值范围,

  (2)若函数的值域为 ,求实数 的取值范围。

  实际问题的函数刻画

  第四章2.1

  课题:实际问题的函数刻画

  【目标要求】

  〖学习目标

  1、知道什么叫数学模型,知道数学建模的意义。

  2、会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。

  3、知道函数的一些模型。如正反比列函数、一次函数。

  〖学习重点、难点

  用函数观点刻画实际问题。(重点)

  准确理解题意,理解变量间的关系。(难点)

  【过程方法】

  〖预习提要

  一、问题1 当人的生活环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化,表4-2给出了实验的一组数据,这组数据能说明什么?

  环境温度/(℃) 4 10 20 30 38

  代谢率/[4185J/(h .m2)] 60 44 40 40.5 54

  (⒈)在这个实际问题中出现了几个变量?它们之间能确定函数关系吗?为什么?

  (2)、结合图4-5分析代谢率在什么范围下降,什么范围上升?

  (3)温度在什么范围内代谢率变化较小比较稳定,什么范围代谢率变化较大?

  二、问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品,为此更新专用设备和制作模具花去了200000元,生产每件工艺品的直接成本为300元,每件工艺品的售价为500元,产量z对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?

  (1)总成本C与产量x的关系是什么?

  (2)单位成本P与产量x的关系是什么?

  (3)销售收入R与产量x的关系是什么?

  (4)利润L与产量x的关系是什么?

  (5)利润关系式是什么函数?当x取何值时亏损、盈利?

  〖预习反馈

  〖精讲释疑

  问题三、问题3如图4-7,在一条弯曲的河道上,设置了6个水文监测站,现在需要在河边建一个情报中心,从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆,怎样刻画专用通信电缆的总长度?

  〖检测拓展

  类型一:数学模型为正比列、反比列函数的问题

  1、一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm,现以每秒S 的速度向容器内注入某种溶液,求容器内溶液高度y与时间t(秒)的函数关系式及定义域。

  2、有m部同样的机器一起工作,需要m小时完成一项任务。

  (1)设由x部机器(x为不大于m的正整数)完成同一任务,求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式。

  (2)画出所求函数当m=4时的图像。

  类型二:数学模型为一次函数

  2、某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里,有20天每天都可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚的多少元?

  4、某人开汽车以60 的速度从A地到150km远处的B处,在B地停留1h后,再以50 的速度返回A地。把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数,并画出函数的图像;再把车速v( )表示为时间t(h)的函数,并画出函数的图像。

  〖归纳整理

  【学/教后感】

  函数概念

  泗县三中教案、学案用纸

  年级高一

  学科数学

  课题

  函数概念2

  授课时间

  撰写人

  撰写时间2011年8月21日

  学习重点

  求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;

  学习难点

  求函数的定义域与值域及对函数的定义域或值域书写形式

  学习目标

  1.会求一些简单函数的定义域值域

  2.对函数概念的进一步理解

  3.会对函数的定义域或值域正确书写

  过程

  一自主学习

  复习

  1.函数的概念:

  2.函数的三要素是、、. 3.函数 与y=3x是不是同一个函数?为何? 4.求函数定义域的规则

  练一练

  求下列函数的定义域(用区间表示). (1) ;

  (2) ;

  (3)

  二师生互动

  例1求下列函数的值域(用区间表示): (1)y=x -3x+4;(2) ; (3)y= ;(4) .

  变式:求函数 的值域及定义域。

  小结: 求函数值域的常用方法有:

  观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

  练一练

  求下列函数的定义域及值域

  (1) (2) (3) 例2对函数 ,以下说法中正确的是

  (1) 是 的函数;(2)对于不同的 , 的值也不同;(3) 表示当x=a时函数 的值,是一个常量;(4) 一定可以用一个具体式子表示出来;(5)当 和 确定后, 的值也就确定了。

  三巩固练习

  1.函数 的定义域是(). A. B. C.RD. 2.函数 的值域是(). A. B. C. D.R 3.下列各组函数 的图象相同的是()

  A.

  B.

  C.

  D. 4.函数f(x)= + 的定义域用区间表示是. 5.已知 , 则 的值 6.函数 对任意实数 满足条件 ,若 ,则

  四课后反思

  五课后巩固练习

  1.设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积y关于x的函数的解析式,并写出定义域.

  2.(2009江西)函数 的定义域

  3.(2007北京)已知函数 , 分别由下表给出

  则 的值为 ;当 时, .

  集合的概念及其表示

  第一课时 集合(一)

  目标:

  使学生掌握集合的概念和性质,集合的元素特征,有关数的集合;培养学生的思维能力,提高学生理解掌握概念的能力;培养学生认识事物的能力,引导学生爱班、爱校、爱国.

  重点:

  集合的概念,集合元素的三个特征.

  教学难点:

  集合元素的三个特征,数集与数集关系.

  教学方法:

  尝试指导法

  学生依集合概念的要求、集合元素的特征,在教师指导下,能自己举出符合要求的实例,加深对概念的理解、特征的掌握.

  教学过程:

  Ⅰ.复习回顾

  师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.

  [师]同学们回忆一下,在初中代数第六章不等式的解法一节中提到:

  一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.

  不等式解集的定义中涉及到“集合”.

  Ⅱ.讲授新课

  下面我们再看一组实例

  幻灯片:

  观察下列实例

  (1)数组 1,3,5,7.

  (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.

  (3)满足 3x-2>x+3 的全体实数.

  (4)所有直角三角形.

  (5)高一(3)班全体男同学.

  (6)所有绝对值等于6的数的集合.

  (7)所有绝对值小于3的整数的集合.

  (8)中国足球男队的队员.

  (9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.

  (10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.

  通过以上实例.教师指出:

  1.定义

  一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).

  师进一步指出:

  集合中每个对象叫做这个集合的元素.

  [师]上述各例中集合的元素是什么?

  [生]例(1)的元素为1,3,5,7.

  例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.

  例(3)的元素为满足不等式3x-2>x+3的实数x.

  例(4)的元素为所有直角三角形.

  例(5)为高一(3)班全体男同学.

  例(6)的元素为-6,6.

  例(7)的元素为-2,-1,0,1,2.

  例(8)的元素为中国足球男队的队员.

  例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.

  例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.

  [师]请同学们另外举出三个例子,并指出其元素.

  [生](1)高一年级所有女同学.

  (2)学校学生会所有成员.

  (3)我国公民基本道德规范.

  其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.

  例(2)的元素为学生会所有成员.

  例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.

  [师]一般地来讲,用大括号表示集合.

  师生共同完成上述例题集合的表示.

  如:例(1){1,3,5,7};

  例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点};

  例(3){3x-2>x+3的解};

  例(4){直角三角形};

  例(5){高一(3)班全体男同学};

  例(6){-6,6};

  例(7){-2,-1,0,1,2};

  例(8){中国足球男队队员};

  例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员};

  例(10){参与WTO谈判的中方成员}.

  2.集合元素的三个特征

  幻灯片:

  问题及解释

  (1)A={1,3},问3,5哪个是a的元素?

  (2)A={所有素质好的人}能否表示为集合?

  (3)A={2,2,4}表示是否准确?

  (4)A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示为同一集合?

  生在师的指导下回答问题:

  例(1)3是集合A的元素,5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化,故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确,应表示为A={2,4}.例(4)的A与B表示同一集合,因其元素相同.

  由此从所给问题可知,集合元素具有以下三个特征:

  (1)确定性

  集合中的元素必须是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的.

  如上例(1)、例(2)、再如

  {参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.

  (2)互异性

  集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.

  如上例(3),再如

  A={1,1,1,2,4,6}应表示为A={1,2,4,6}.

  (3)无序性

  集合中的元素是无先后顺序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交换的.

  如上例(1)

  [师]元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于 ”( 也可表示为 )两种.

  如 A={2,4,8,16} 4∈ A 8∈A 32 A

  请同学们考虑:

  A={2,4},B={{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}},

  A与B的关系如何?

  虽然A本身是一个集合.

  但相对B来讲,A是B的一个元素.

  故A∈B.

  幻灯片:

  3.常见数集的专用符号

  N:非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)

  N*或N+:正整数集(非负整数集N内排除0的集合)

  Z:整数集(全体整数的集合)

  Q:有理数集(全体有理数的集合)

  R:实数集(全体实数的集合)

  [师]请同学们熟记上述符号及其意义.

  Ⅲ.课堂练习

  1.(口答)说出下面集合中的元素.

  (1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4,6,8,10

  (2){平方等于1的数} 其元素为-1,1

  (3){15的正约数} 其元素为1,3,5,15

  2.用符号∈或∈填空

  1∈N 0∈N -3∈N 0.5∈N 2 ∈N

  1∈Z 0∈Z -3∈Z 0.5∈Z 2 ∈Z

  1∈Q 0∈Q -3∈Q 0.5∈Q 2 ∈Q

  1∈R 0∈R -3∈R 0.5∈R 2 ∈R

  3.判断正误:

  (1)所有在N中的元素都在N*中( × )

  (2)所有在N中的元素都在Z中( √ )

  (3)所有不在N*中的数都不在Z中( × )

  (4)所有不在Q中的实数都在R中( √ )

  (5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0( × )

  (6)不在N中的数不能使方程4x=8成立( √ )

  Ⅳ.课时小结

  集合的表示方法

  j.Co M 数学必修1:集合的表示方法

  目标:掌握集合的 表示方法,能选择自 然语言、图形语言、集合语言描述不 同的问题.

  重点、难点:用列举法、描述法表示一个集合.

  教学过程:

  一、复习引入:

  1.回忆集合的概念

  2.集合中元素有那些性质?

  3.空集、有限集和无 限集的概念

  二、讲述新课:

  集合的表示方法

  1、大写的字母表示集合

  2、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法.

  例如,24所有正约数构成的 集合可以表示为{1,2,3,4 ,6,8,12,24}

  注:(1)大括号不能缺失.

  (2)有些集合种元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可如下表示:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,…,100}

  自然数集N:{1,2,3,4,…,n,…}

  (3)区分a与{a} :{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.

  (4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前后 次序.相同的元素不能出现两次.

  3、特征性质描述法:

  在 集合I中,属于集合A的任意元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质,于是集合A可以表示如下:

  {x∈Ip(x)}

  例如,不等式 的解集可以表示为: 或 ,

  所有直角三角形的集合可以表示为: 注:(1)在不致混淆的情况下,也可以写成:{直角三角形};{大于104的实数}

  (2)注意区别:实数集,{实数集}.

  4、文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合.

  例1:集合 与集合 是同一个集合 吗?

  答:不是.

  集合 是点集,集合 = 是数集。

  例2:(教材第7页例1)

  例3:(教材第7页例2)

  课堂练习:

  (1)教材第8页练习A、B

  (2)习题1-1A: 1,

  小结:

  本节课学习了集合的表示方法(字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种)

  课后作业: 1,2

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