圆柱和圆锥教案

2024-09-02

圆柱和圆锥教案

　　本单元是在认识了圆，掌握了长方体、正方体的特征以及表面积与体积计算方法的基础上编排的。圆柱与圆锥都是基本的几何形体，也是生产、生活中经常遇到的几何形体。教学圆柱和圆锥扩大了学生认识形体的范围，增加了形体的知识，有利于进一步发展空间观念。

　　全单元编排五道例题、四个练习，把内容分成四段教学。依次是圆柱与圆锥的特征、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积。在单元结束时，还安排了整理与练习以及实践活动《测量物体的体积》。

　　1．通过观察、操作，认识圆柱和圆锥。

　　学生在第一学段已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动初步感受了圆柱的形状与长方体、正方体有不同之处。例1先教学认识圆柱，再教学认识圆锥，要让学生从整体上体会它们的特征，了解围成圆柱或圆锥的各个面，认识圆柱和圆锥的高，并会测量高。

　　教学圆柱从识别圆柱形的物体开始，因为学生已有这样的能力。例1的图片里，有些物体是圆柱形的，有些物体的一部分是圆柱形的，也有些物体不是圆柱形的。而且，在圆柱形的物体中，有的高，有的矮，有的厚，有的薄，这就为认识圆柱提供了丰富的具体对象。

　　认识圆柱的教学要引导学生进行观察、交流，同时教师要给予必要的讲解。让学生仔细观察圆柱，发现圆柱的上、下两个面是相同的圆形，圆柱的侧面是曲面，而且圆柱上下是一样粗的。前两点学生容易注意到，第三点往往会疏忽，在交流的时候，要引起学生的注意。在“练一练”里，教材安排了上、下两个底面大小不同的杯子和木桶，两个底面虽然相同但两底之间粗细不同的腰鼓，还有底面是正六边形的盒子，让学生指出这些物体都不是圆柱形，从而加强对圆柱特征的体验。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可相机指出圆柱上、下两个面叫做底面，围成圆柱的曲面叫做侧面，及时出现圆柱的几何图形，在图形上标出圆柱的底面和侧面，这是建立圆柱概念的重要一步。同时指出圆柱两个底面之间的距离叫做高，并在圆柱的几何图形上标出高，既直观地表达高的意义，又能使学生想到测量圆柱高的方法。

　　例题引导学生把认识圆柱的学习方法迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥形物体的基础上抽象出圆锥的几何图形，在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。圆锥的高是教学的一个难点，因为圆锥的高是圆锥内部的一条线段的长。教材指出从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出顶点到底面圆心的线段，帮助学生理解圆锥高的含义。

　　练习五的设计重视空间观念的培养，都是动手操作的习题。第2题从正面、上面、侧面观察圆柱和圆锥，通过立体图形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱、圆锥特征的体验，发展空间观念。第3题把长方形绕它的一条边旋转形成圆柱，把直角三角形绕它的一条直角边旋转形成圆锥，把半圆绕它的直径旋转形成球，让学生在动态中感受这些几何体，使已有的圆柱、圆锥概念得到深化。第5题利用教材附页里的图形做圆柱和圆锥，体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是扇形卷成的，再次经历平面图形变成立体的过程。同时，做成一个圆柱要两个相同的圆，做成一个圆锥只要一个圆，再次体会圆柱与圆锥的特征。测量做成的圆柱、圆锥的底面直径和高，能巩固高的概念，培养测量能力。计算圆柱、圆锥的底面周长和底面积，复习了圆的知识，为继续教学圆柱的表面积，圆柱和圆锥的体积做好准备。

　　2．在现实的情境中，探索圆柱表面积的计算方法。

　　圆柱的表面积是它的侧面积与两个底面面积的和，其中侧面积是新知识，底面积是旧知识。为此，教材先在例2里教学圆柱的侧面积，再在例3里教学圆柱的表面积。

　　例2计算圆柱形罐头盒侧面的商标纸的面积，这个素材容易引发把商标纸剪开后看看、算算等教学活动。教材指导学生“沿着接缝剪开”，经历展开商标纸的活动，体会圆柱的侧面展开图是一个长方形。探索圆柱侧面积的计算方法，要研究展开后长方形的长、宽与圆柱的关系，让学生在侧面展开成长方形和长方形卷成侧面的活动中，发现长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。从长方形的面积计算公式，推导出圆柱侧面积的计算方法。在探索圆柱侧面积算法的过程中，学生把曲面转化成平面，开展了一系列的推理活动，空间观念和思维能力能够得到锻炼。

　　例3教学圆柱的表面积。教材先让学生思考底面直径2厘米、高2厘米的圆柱侧面沿高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面是多大的圆，再在方格纸上画出这个圆柱的展开图。思考的过程能帮助正确地画图，画图则有助于体会表面积的含义。“侧面积与两个底面积的和”既是表面积的概念，也是计算表面积的方法。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆柱的表面积计算不列出公式，让学生在理解的基础上掌握算法，避免了记忆公式的负担。由于圆柱的侧面积已在例2教学，计算底面积是旧知识，因此例3组织学生讨论算法并独立计算。

　　练习六应用圆柱侧面积、表面积的知识解决实际问题。第1、2题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，求队鼓的铝皮面积就是计算圆柱的侧面积，求队鼓的羊皮面积是计算圆柱的两个底面积之和，求做一个铁桶用的铁皮是计算圆柱的表面积。第3题有整理知识的作用，通过计算既能区分圆柱的侧面积、底面积、表面积这三个不同的概念以及不同的算法，又能整理三者的关系，进一步理解表面积的意义和计算方法。第4~9题是灵活应用圆柱侧面积、表面积的知识，要联系实际判断所求问题需不需要计算底面积，要算几个底面积。

　　3．通过猜想—验证探索圆柱、圆锥的体积公式。

　　例4教学圆柱的体积计算，分两步进行。第一步认识底面积相等、高也相等（以下简称等底等高）的长方体、正方体和圆柱，第二步推导圆柱的体积公式。安排第一步教学要达到三个目的，一是认识等底等高的含义，便于判断圆柱可以转化成与它等底等高的长方体。二是从长方体与正方体等底等高，体积也相等的事实，引发等底等高的圆柱与长方体的体积也相等的猜想，形成把圆柱转化成长方体的活动心向。三是复习长方体、正方体的体积公式，圆柱的体积最终也要这样计算。这些目的要在思考和讨论例题中第（1）、（2）两个问题时实现。第二步的教学主要设计了三个活动。第一，在形成把圆柱转化成长方体的探索思路后，展示转化活动。学生可以看教材里的插图，也可以通过操作学具，明确转化的方法与过程。第二，让学生明白，把圆柱的底面平均分成16份，切开后拼成的是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底面平均分的份数越多，切开后拼成的物体越接近长方体，渗透极限思想，发展想像能力。第三，让学生思考拼成的长方体与原来圆柱的关系，体会圆柱转化成长方体，体积不变，底面积不变、高也没有变。用“底面积乘高”算得的既是转化成的长方体的体积，也是原来圆柱的体积。这是形成圆柱体积公式的推理活动。

　　例5教学圆锥的体积公式。教材首先出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生直观估计圆锥的体积是圆柱的几分之几。进行这个估计是形成一个猜想，如果等底等高的圆柱和圆锥的体积之间存在确定的倍数关系，就可以利用圆柱的体积计算圆锥的体积。然后验证估计，探索等底等高的圆柱和圆锥的体积关系。例题把验证活动分三步进行。第一步指导学生选择实验器具：等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器。左图把圆锥形容器放到圆柱形容器的上面，容易比出底面积是否相等。右图把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步指导倒沙活动：在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“3次正好倒满”证实圆柱形容器的容积是等底等高的圆锥形容器的3倍，也就是圆锥体积是等底等高的圆柱的1/3。第三步进行推理，把实验的结论用数学式子表示，最终得出圆锥的体积公式。

　　猜想—验证是发现规律、创新知识的常用策略，教材从教学内容的特点和学生的实际能力出发，把圆柱和圆锥体积公式的教学设计成鼓励猜想—引导验证的过程，有利于培养学生的学习能力和科学态度。

　　练习七和练习八里应用圆柱、圆锥的体积计算知识解决实际问题。计算圆柱的表面积，计算圆柱和圆锥的体积都要进行乘法计算。从过去的教学中我们发现，这一单元的计算学生经常出现错误。对此，教学应采取三点措施：一是营造良好的计算氛围，每次作业的题量不宜过多，给学生的时间要充分，在心理负担较轻的状态下能减少计算错误。保持安静，在无干扰的环境中专心计算也能减少错误。二是较繁的计算使用计算器，通常情况下，三位数乘一位数、三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的数的乘法计算可以用计算器。如果让学生进行过繁的四则计算，不仅容易出错，而且消耗了大量的精力和时间，没有必要。三是指导简便计算，在半径（或直径）的长度数是5、15、25，高的长度数是2、4、8时，经常可以应用乘法运算律使计算简便。

　　4．测量形状不规则的物体的体积。

　　长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都有计算公式，生活中还有大量不是这些形状的物体，它们的体积怎样测量呢？实践活动《测量物体的体积》引导学生研究这个问题。

　　把土豆或铁块放入盛水的圆柱形容器里进行测量是一种方法，这种方法把不规则形体转化成规则形体，利用计算圆柱体积的方法解决了问题。通过质量除以比重（质量和体积的比值）求体积也是一种方法，这种方法不依赖体积计算公式。教材没有把两种方法直接告诉学生，而是安排操作活动，让学生在活动过程中想到和理解这些方法。对于第一种方法，要依次测量圆柱容器的底面积、放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，直观体会容器中水面上升所形成的那段圆柱的体积就是土豆的体积，感悟“等积变形”的转化思想。利用这种方法测量土豆的体积以后，还要再测量两个铁块的体积，为第二种测量方法积累数据资料。对于第二种方法，两个铁块的体积已经测得，再用天平称出它们的质量就能填表。通过计算发现一个铁块的质量与体积的比值和另一个铁块的质量与体积的比值相等。如果测量和计算都正确，这个比值应该约是7.8。要让学生理解这个比值的具体意思是“1立方厘米铁块大约重7.8克”，这样，第三个铁块的体积就可以称出质量后用除法计算了。

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