数学证明练习专题

2024-05-08

数学证明练习专题

　　直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。以下是直接证明与间接证明专题练习，请考生查缺补漏。

　　【典例1】 (2014天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2，，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q++xnqn-1，xiM，i=1,2，，n}.

　　(1)当q=2，n=3时，用列举法表示集合A.

　　(2)设s，tA，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，其中ai，biM，i=1,2，，n.

　　证明：若an1及a0可知0，

　　只需证1，

　　只需证1+a-b-ab1，

　　只需证a-b-ab1，即-1.

　　这是已知条件，所以原不等式得证.考向3 反证法(高频考点)

　　【典例3】 (1)(2014山东高考改编)用反证法证明命题设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根时，要做的假设是________.

　　(2)(2013陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.

　　推导{an}的前n项和公式;

　　设q1，证明数列{an+1}不是等比数列.

　　[思路点拨] (1)至少的否定是少于.

　　(2)分q=1和q1两种情况求解.用反证法证明.

　　[解析] (1)已知a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根的否定为方程x3+ax+b=0没有实根.

　　[答案] 方程x3+ax+b=0没有实根

　　(2)设{an}的前n项和为Sn，

　　当q=1时，Sn=a1+a1++a1=na1;

　　当q1时，Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，

　　qSn=a1q+a1q2++a1qn，

　　①-得，(1-q)Sn=a1-a1qn，

　　Sn=，Sn=

　　证明：假设{an+1}是等比数列，则对任意的kN+，

　　(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1)，

　　a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1，

　　aq2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1，

　　a10，2qk=qk-1+qk+1.

　　q0，q2-2q+1=0，

　　q=1，这与已知矛盾.

　　直接证明与间接证明专题练习及答案就分享到这里，数学网预祝考生可以考上自己理想的大学。

【数学证明练习专题】相关文章：