直接证明与间接证明复习练习

2024-09-15

直接证明与间接证明复习练习

　　1.已知函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2D(x1x2)，都有fx1+x22

　　()

　　A.y=log2x B.y=x

　　C.y=x2 D.y=x3

　　解析：可以根据图象直观观察;对于C证明如下：

　　欲证fx1+x22

　　即证x1+x222

　　即证(x1-x2)20.显然成立.故原不等式得证.

　　答案：C

　　2.设a，b，c(-，0)，则a+1b，b+1c，c+1a

　　()

　　A.都不大于-2 B.都不小于-2

　　C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2

　　解析：因为a+1b+b+1c+c+1a-6，所以三者不能都大于-2.

　　答案：C

　　3.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，，xn，有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn，已知函数y=sin x在区间(0，)上是凸函数，则在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值为________.

　　解析：∵f(x)=sin x在区间(0，)上是凸函数，

　　且A、B、C(0，)，

　　fA+fB+fC3fA+B+C3=f3，

　　即sin A+sin B+sin C3sin 3=332，

　　所以sin A+sin B+sin C的最大值为332.

　　答案：332

　　4.已知常数p0且p1，数列{an}的前n项和Sn=p1-p(1-an)，数列{bn}满足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.

　　(1)求证：数列{an}是等比数列;

　　(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数，总存在不小于2的自然数k，当nk时，bn(1-)(3n-2)恒成立，求k的最小值.

　　解：(1)证明：当n2时，an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1)，整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1)，得a1=p0，则恒有an=pn0，从而anan-1=p.所以数列{an}为等比数列.

　　(2)由(1)知an=pn，则bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1，

　　所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2，

　　所以n2-2n+2(1-)(3n-2)，则(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]时恒成立.

　　记f()=(3n-2)+n2-5n+4，由题意知，f00f10，解得n4或n1.又n2，所以n4.

　　综上可知，k的最小值为4.

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