高一数学知识点归纳总结

2023-06-12 知识点总结

　　总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，它能够使头脑更加清醒，目标更加明确，因此，让我们写一份总结吧。总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是小编收集整理的高一数学知识点归纳总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

　　高一数学知识点归纳总结1

　　一：函数及其表示

　　知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等

　　1.函数与映射的区别：

　　2.求函数定义域

　　常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

　　①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

　　②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

　　③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

　　④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

　　⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

　　⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

　　⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

　　3.求函数值域

　　(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;

　　(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;

　　(3)、判别式法：

　　(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;

　　(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;

　　(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;

　　(8)、最值法：对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，可求出y=f(x)在区间[a，b]内的极值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域;

　　(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

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　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

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　　一、指数函数

　　（一）指数与指数幂的运算

　　1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈

　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）。

　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号—表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

　　注意：当是奇数时，当是偶数时，

　　2、分数指数幂

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

　　3、实数指数幂的运算性质

　　（二）指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R。

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。

　　2、指数函数的图象和性质

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　　指数函数

　　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3)函数图形都是下凹的。

　　(4)a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　　(8)显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

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　　一：集合的含义与表示

　　1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

　　把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

　　(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不可重复的。

　　(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

　　3、集合的表示：{…}

　　(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

　　a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a，b，c……}

　　b、描述法：

　　①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

　　{x?R|x-3>2}，{x|x-3>2}

　　②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集：含有有限个元素的集合

　　(2)无限集：含有无限个元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合

　　5、元素与集合的关系：

　　(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A

　　(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集N_或N+

　　整数集Z

　　有理数集Q

　　实数集R

　　6、集合间的基本关系

　　包含”关系—子集

　　定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

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　　圆的方程定义：

　　圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

　　直线和圆的位置关系：

　　1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

　　①Δ>0，直线和圆相交

　　②Δ=0，直线和圆相切

　　③Δ<0，直线和圆相离。

　　方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。

　　①dR，直线和圆相离、

　　2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

　　3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

　　切线的性质

　　⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；

　　⑵过切点的半径垂直于切线；

　　⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；

　　⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；

　　当一条直线满足

　　（1）过圆心；

　　（2）过切点；

　　（3）垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

　　切线的判定定理

　　经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

　　切线长定理

　　从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

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　　1.多面体的结构特征

　　(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。

　　正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。

　　(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。

　　正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

　　(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。

　　2.旋转体的结构特征

　　(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.

　　(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.

　　(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。

　　(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。

　　3.空间几何体的三视图

　　空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

　　三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。

　　4.空间几何体的直观图

　　空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

　　(1)画几何体的底面

　　在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。

　　(2)画几何体的高

　　在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变。

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　　一、立体几何常用公式

　　S(圆柱全面积)=2πr(r+L);

　　V(圆柱体积)=Sh;

　　S(圆锥全面积)=πr(r+L);

　　V(圆锥体积)=1/3Sh;

　　S(圆台全面积)=π(r^2+R^2+rL+RL);

　　V(圆台体积)=1/3[s+S+√(s+S)]h;

　　S(球面积)=4πR^2;

　　V(球体积)=4/3πR^3.

　　二、立体几何常用定理

　　(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面.

　　(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.

　　(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系：r=√(R^2-d^2).

　　(4)球面被经过球心的平面载得的圆叫做大圆，被不经过球心的载面截得的圆叫做小圆.

　　(5)在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离.

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　　一、指数函数的定义

　　指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1)(x∈R).

　　二、指数函数的性质

　　1.曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）

　　2.曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

　　一、对数与对数函数定义

　　1.对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

　　2.对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

　　二、方法点拨

　　在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。

　　一、幂函数定义

　　形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　二、性质

　　幂函数不经过第三象限，如果该函数的指数的分子n是偶数，而分母m是任意整数，则y0，图像在第一;二象限.这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关.

　　如果函数的指数的分母m是偶数，而分子n是任意整数，则x0(或xy0(或y=0)，图像在第一象限.与p的奇偶性关系不大，

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　　一、点、线、面概念与符号

　　平面α、β、γ，直线a、b、c，点A、B、C;

　　A∈a——点A在直线a上或直线a经过点;

　　aα——直线a在平面α内;

　　α∩β=a——平面α、β的交线是a;

　　α∥β——平面α、β平行;

　　β⊥γ——平面β与平面γ垂直.

　　二、点、线、面常用定理

　　1.异面直线判断定理

　　过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.

　　2.线与线平行的判定定理

　　(1)平行于同一直线的两条直线平行;

　　(2)垂直于同一平面的两条直线平行;

　　(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;

　　(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行;

　　(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线.

　　3.线与线垂直的判定

　　若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线.

　　4.线与面平行的判定

　　(1)平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行;

　　(2)若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面.

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　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

　　一、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义

　　2、函数单调性的判断和证明：

　　(1)定义法

　　(2)复合函数分析法

　　(3)导数证明法

　　(4)图象法

　　二、函数的奇偶性和周期性

　　1、函数的奇偶性和周期性的定义

　　2、函数的奇偶性的判定和证明方法

　　3、函数的周期性的判定方法

　　三、函数的图象

　　函数图象的作法

　　(1)描点法

　　(2)图象变换法

　　2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　常见考法

　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

　　误区提醒

　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。

　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

　　高一数学知识点归纳总结12

　　集合间的基本关系

　　1、“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能

　　（1）A是B的一部分，；

　　（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集：如果AB，且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果AB，BC，那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n—1个真子集

　　集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。记作AB（读作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝。

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）。

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

　　高一数学知识点归纳总结13

　　一、函数的概念与表示

　　1、映射

　　(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

　　注意点：

　　(1)对映射定义的理解。

　　(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　2、函数

　　构成函数概念的三要素

　　①定义域

　　②对应法则

　　③值域

　　两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

　　二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据：

　　(1)分式的分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

　　(3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　三、函数的值域

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

　　四.函数的奇偶性

　　1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

　　函数。

　　2.性质：

　　①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称，

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

　　3.奇偶性的判断

　　①看定义域是否关于原点对称

　　②看f(x)与f(-x)的关系

　　五、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义：

　　2、设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

　　高一数学知识点归纳总结14

　　一、圆锥曲线的定义

　　1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.

　　2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.

　　3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

　　二、圆锥曲线的方程

　　1.椭圆：+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0)(其中，a2=b2+c2)

　　2.双曲线：-=1(a>0，b>0)或-=1(a>0，b>0)(其中，c2=a2+b2)

　　3.抛物线：y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)

　　三、圆锥曲线的性质

　　1.椭圆：+=1(a>b>0)

　　(1)范围：|x|≤a，|y|≤b

　　(2)顶点：(±a，0)，(0，±b)

　　(3)焦点：(±c，0)(4)离心率：e=∈(0，1)

　　(5)准线：x=±

　　2.双曲线：-=1(a>0，b>0)

　　(1)范围：|x|≥a，y∈R

　　(2)顶点：(±a，0)

　　(3)焦点：(±c，0)

　　(4)离心率：e=∈(1，+∞)(5)准线：x=±(6)渐近线：y=±x

　　3.抛物线：y2=2px(p>0)

　　(1)范围：x≥0，y∈R

　　(2)顶点：(0，0)

　　(3)焦点：(，0)

　　(4)离心率：e=1

　　(5)准线：x=-

　　高一数学知识点归纳总结15

　　幂函数的性质：

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=—k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（—∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

　　排除了为0这种可能，即对于x<0x="">0的所有实数，q不能是偶数；

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

　　由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。

　　可以看到：

　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

　　（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。