逆向思维

           广西都安隆福乡崇山小学                韦文祝   

[摘  要] 正向思维是解决问题的正常途径，但对一些问题常常一筹莫展；若改变思维方向，用逆向思维方法，可以使问题迎刃而解。

[关键词] 逆向思维

逆向思维是一种创造性思维。逆向思维是相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因(或条件)来推知结果(或结论)，而是从相反方向展开思路，分析问题，而得出的结论。

由于数学定义，公式都有可逆性，不少数学定理、数学运算以及解题过程也有可逆性，所有这些可逆性理论为逆向思维提供了理论依据。因此，在解答数学题时，应摆脱思维定势的束缚，打破常规，从问题的反面入手，这样常能由“山穷水尽”进入“柳暗花明”。本文从以下几个方面说明如何应用“逆向思维”巧解数学题。

1  利用公式的可逆性，使难题迎刃而解

善于将数学公式从右到左熟练地逆向运用，是对公式真正理解程度掌握的重要标志。当解题思路受阻，出现思维障碍时，如能灵活地将公式逆向运用，能使解题豁然开朗。

例1、求   的值

分析：若按习惯正用公式，极易想到对  进行积化和差，得 ，但由于没有出现特殊角，无法求出其值，此时如再利用倍角公式展开，仍然不能奏效，若联想到二倍角公式的可逆性，逆向运用二倍角公式，本题可顺利获解。

解： 

                

 

2  借助数学运算的可逆性，逆向探求解题途径

数学中的许多运算都是可逆的，例如加法与减法，乘法与除法，乘方与开方，指数运算与对数运算，三角运算与反三角运算等等。在同一级运算中，一种运算的逆运算都是由它的正运算引出的，解题时，注意借助数学运算的可逆性，学会逆向运算法则，可以有效地培养运算能力，提高解题速度。

例2、已知  、 、 为正数，且 ，求证： 。

分析：观察条件等式的左边，逆向联想到 是反正弦值。可以把条件等式转换成正弦来解答，所以可证。

证明：设 , ， ，则 ， ， ,即求： 。

      

 

 

  

       即 

3  利用“正难则反”的原则，使解题思路豁然开朗

解决一个数学问题，若正面情况比较复杂，或从正面无法入手时，则必须快速转向，采取顺繁则逆，正难则反的策略。

例3、若下列三个方程： ， ， ，至少有一个方程有实根。试求实数 的取值范围。

分析：三个方程中至少有一个方程有实根，情况很复杂，可能有七种情况分别讨论，十分复杂，但从反面入手，只有一种情况，即三个方程都没有实根，情况仍为简单，由此得以下解法。

解：若三个方程均无实数根，则有

 

解得 ，要使三个方程至少有一个方程有实根，则 的取值范围为( ，  , 

4  把握因果关系的可逆性，逆向探求解题途径

数学过程有一定的因果关系，通常从原因推知结论，但有时可反过来，从肯定的结论入手进行推理，推出符合条件或易证的命题，并且推理的每一步均可逆，则可证得原命题成立，这种“执果索因”的分析方法，便于思考，有益于获得解题捷径。

例4、求证： 的最小值是  

分析：若要证明函数 的最小值是  ，只需证 成立，则移项得 ，变形为 ，即 ，当 时，此不等式成立，每一步都可逆推回去。

5  利用反证法思想，寻找解题佳径

数学题浩似烟海，如果单纯用一种思维方式去思考，有时会思路闭塞，陷入困境，若善于从不同角度、不同方向思考问题，熟练灵活运用反证法，能使一些难题迎刃而解，出奇制胜地解决问题。

例5、已知锐角 、 满足 ，求证： 。

分析：本题若直接由已知条件证明 ，确有很大的难度。但若从反面出发，考虑 ， 与 三种可能情况，则间接得证。

证明：(1)假若 且 、 为锐角，则 。

   ，即

 。--①

同理 ，即

 。--②

由①+②得 ，这与已知条件矛盾。

  不大于 。

(2)假若 ，则 。

同上证法，有 且 。

  ，这与已知条件矛盾

  不小于 。

综合上述情况，可知 成立。

本文通过以上五个方面来讨论逆向思维方法。解决一些数学问题，充分显示出逆向思维是重要的数学思维方法。但是，由于我们的教学过程大部分是顺向思维，往往使学生在很大程度上形成思维定势，这样在某种程序上制约了逆向思维的建立，所以在以后教学中如何对学生进行逆向思维训练，帮助学生由单向思维向双向思维发展，提高解题能力，这仍然需要广大教师努力去工作。

[参考文献]

[1]工瑞立邹泽民中学数学方法论[M] 广西教育出版社

[2]杨  云培养创新思维的途径与方法[J] 数学教学研究2002.1