指印
古罗马历，一年月亮绕十个圈，
当时把这个数奉为至尊至上，
或者因为我们习惯了用手指来数数，
或者因为妇人怀胎十个月方才分娩，
再不然就因为数字增到了十，
便回头来，从一开始循环。
——奥维德（Ovid），《岁时记》（Fasti）第三卷
１
人类在进化的蒙昧时期，就已经具有一种才能，这种才能，因为没有更恰当的名字，我姑且叫它为数觉。由于人有了这种才能，才在一个小的集合里边，增加或者送去一样东西的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化。
数觉和计数不能混为一谈。计数似乎是很晚以后才有的一种收获，由后文可以知道，它牵涉到一种颇为复杂的心理过程。就我们所知，计数是一种人类独具的特性；另一方面，有若干种动物看来也具有一种和我们相类似的原始数觉。至少，有权威的关于动物行为的观测家持有这种主张，而且有很多实例支持这种理论。
例如，许多鸟类是具有这种数觉的。鸟巢里若是有四个卵，那么可以安然拿去一个；但是如果拿掉两个，这鸟通常就要逃走了。鸟会用某种奇怪的方法来辨别二和三。但是这种才能不仅限于鸟类。实际上，我们所知道的最惊人的例子要算叫做“独居蜂”（solitarywasp）的昆虫。这种母蜂在每个巢里下一个卵，并且在巢里面预先储藏了一批活的尺蠖，作为幼虫孵化后的食料。使人吃惊的是，各类独居蜂每巢里所放的尺蠖数目都是一定的：有些类放五条，有些放十二条，多的甚至于有二十四条的。最特别的是一种叫做蜾蠃（eumenus）的蜂，这种蜂雄的比雌的小得多。母蜂能用神秘的方法辨别孵化出来的幼虫是雄的还是雌的，并且据此相应地分配食品的数量；它并不去改变捕获物的大小和种类，只给雄卵储存五条尺蠖，给雌卵储存十条。
由于蜂类行为的规律化，而且这种行为和它的生命的基本机能有密切的关系,所以上述例子不如下面的例子来得更加令人信服.这里所举的鸟的行为,似乎已经处于自觉的边缘了.
有个田主决心要打死一只在他庄园的望楼里筑巢的乌鸦.他试了好多次想惊动它,始终没有成功:因为人一走近,乌鸦就离开了巢,飞开了.它栖在远远的树上守着,等到人离开了望楼,才肯飞回巢去.有一天,这田主定下了一个计策:两个人走进望楼,一个留着,一个走开了.但是乌鸦并不上当:它老等着,直到留在望楼里的人也走了出来才罢.这个试验一边作了几天:两个人,三个人,四个人,都没有成功.末了,用了五个人:也像以前一样,先都进了望楼,留一个在里面,其它四人走出来,离开了.这次乌鸦却数不清了;它不能辨别四与五,马上就飞回巢里去了.
2
这个例证可以引起两种反驳的意见.第一,具有这种数觉的动物只限于极少的几类,而在哺乳动物中就没有发现这种才能,甚至猿猴也好像没有.第二,就已经知道的一切事例而言,动物数觉的范围实在太小,简直可以略而不论.
第一点意见我们是承认的.这确乎是一个值得注意的事实:识数的才能,不论是这种形式或那种形式,看来总是限于几种昆虫,几种鸟类和整个人类.对于狗、马和其他家畜所做的实验和观察，都不曾发现它们有什么数觉。
至于第二点意见，却没有多大价值，因为人类的数学范围也是十分有限的。寻常让一个文明人去辨别数目的时候，他总有意无意地用其他的技能，诸如对称图形读法、心计组合法、计数术等，来帮助他的直接数觉。特别是，计数已经变成我们智能的如此重要的组成部分，所以用心理学的方法来实验我们的关于数的知觉，实在是很困难的。但是，话虽如此，现在还是有了一些进展；根据精密安排的实验结果，不能不下结论说：普通文明人的直接视觉数觉，很少能超过四，至于触觉数觉，范围甚至还要小些。
人类学上关于原始民族的研究，加强了这个结论的可信程度。从这些研究得知，还没有达到屈指计数阶段的野蛮人，几乎完全滑关于数的知觉。澳洲、南海群岛、南美洲和非洲的许多部族都是如此。柯尔（Curr）对于澳洲的原始民族有过广博的研究，他以为只有很少的土人能够辨别四，处于野居状态中的澳洲土人没有人能了解七。南非洲的布须曼（Bushmen)族，除了一、二和多之外，再没有别的数字了，而这三个字又是那么语调含糊，那些土人是否赋予了它们以明晰的意义，也还是个疑问。
我们决没有理由相信，我们的远祖有更高的天赋，却有许多理由使我们怀疑这种想法，试看各种欧洲语言，几乎都带有这种早期局限性的痕迹。英文的Thrice和拉丁文的Ter，同样的有双重意义：三倍和许多。拉丁文的Tres(三）和Trans（超过）之间有着可信的联系；而法文的Tres(甚）和Trois（三）也是如此。
数的产生，远在有史以前，详情已无法深究。究竟数的概念是从经验里边产生的，还是仅仅凭借经验之力，把早已隐藏在原始人心灵中的概念加以暴露而来的呢？这是一个吸引人的玄学问题，因而不在本书讨论的范围之内了。
如果我们用现代野蛮民族的智力情况来推断我们远祖的发展史，我们不能不承认，在开始的时候也是非常幼稚的。一种比鸟类高强不了多少的原始的数觉，就是产生我们数概念的核心。毫无疑问，如果人类单凭这种直接的数的知觉，在计算的技术上，就不会比鸟类有什么进步。但是经历一连串的特殊的环境，人类在极为有限的数知觉之外，学会了另一种技巧来给他帮忙，这种技巧注定了使他们未来的生活受到巨大的影响。这种技巧就是计数，并且，正是由于有了计数，我们赢得了用数来表达我们的宇宙的惊人成就。
3
有些原始语言对于虹的各种色彩都有专门的字，但是没有“色”这个字；又有些语言所有数字都
有，只是没有“数”这个字。其它的概念也有这样的情况。在英文中，对于某些特种集合，有丰富的本国语言的表现方法，例如：Flock(一群），Herd(一帮），Set（一套），Lot(一土堆），bunch(一束)，分别适用于特殊的场合；然而Collection（集合）和Aggregate(集）这两个字却是外来语。
具体的东西总在抽象的东西之先。罗素（BertrandRussell)说：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子。”到现在我们还有不少的字来表达2这个概念，如Pair,Couple,Set,Team,Twin,Brace等等。早期数概念的极端具体性，不列颠哥伦比亚的辛姆珊（Thimshian)族的语言是一个明显的例子、这种语言共有七种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体；一种用于时间和圆形的物体；一种用来数人的；一种是用于树木和长形物体的；一种是用于小艇的；一种是用来测量的；还有一种是在没有特定对象时计数用的。最后一种大概是后来才发展起来的。前几种必定是这族人还没有学会计数之前的早期遗物。
正是计数，才使具体的、不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念。前者是原始人的特点，后者则是数学发展的前提。
4
然而，我们说，不用计数技术，也可以得出一种合乎逻辑的明晰的数概念，这虽然好像奇怪，但确是可能的。
我们走进一个会堂。在我们面前的是两个集合：一个是会堂的座位，一个是出席的人。我闪不用计数，就可以知道这个个集合是否相等，如果不相等，哪个大些。因为要是所有的座位都坐满了，同时没有人站着，我们不用计数就知道两个集合相等。要是座位已经满了，而仍旧有人丫头，我们不用计数就知道人多而座位少了。
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