三角形余弦定理公式及证明

回答
瑞文问答

2021-09-29

余弦定理,是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

扩展资料

  三角形余弦定理的公式:

  对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形,有:

  a2=b2+c2-bc·cosA

  b2=a2+c2-ac·cosB

  c2=a2+b2-ab·cosC

  也可表示为:

  cosC=(a2+b2-c2)/ab

  cosB=(a2+c2-b2)/ac

  cosA=(c2+b2-a2)/bc

  这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

  如果这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

  三角形余弦定理的'证明:

  平面向量证法(觉得这个方法不是很好,平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的,怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图,有a+b=c(平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

  ∴c·c=(a+b)·(a+b)

  ∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

  (以上粗体字符表示向量)

  又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

  ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

  再拆开,得c2=a2+b2-2abcosC

  即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

  同理可证其他,而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

  平面几何证法

  在任意△ABC中

  做AD⊥BC.

  ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a

  则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  根据勾股定理可得:

  AC2=AD2+DC2

  b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

  b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

  b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

  b2=c2+a2-2accosB

  cosB=(c2+a2-b2)/2ac

上一篇:mg/l是什么单位 下一篇:开封高中排名前十河南最好的高中有哪些