八年级上册数学函数1
今天下午在我任教的一班实施了《函数》这一节内容的教学。一堂40分钟的课下来，原本以为可以轻松搞定的课，结果却问题多多，有很多东西需要自己静下心来思考，现将我实施完本课教学后的思考内容整理如下：
《14.1.2函数》的教学是一堂概念课的教学，我的基本思路还是通过从实际问题出发，得出函数关系式后，引导学生观察、发现、总结，进而归纳得出函数这一概念，讲解时，重点引导学生掌握函数的两个显著特征，即一是存在两个变量，二是当其中一个变量确定为一个数值时，另一个变量会有唯一确定的数值与之对应。通过不断强调“变化与对应”这两个关键点，让学生发现函数的本质属性。引导学生学习了解了函数的概念之后，再通过教材中的例题进行巩固，接着是分了两个层次进行加强训练，最后进行课堂小结。
本课教学的困难之处，我觉得一是如何将抽象性的函数概念清晰明了的讲授给学生，二是教材内容中出现的大量实际问题该如何科学恰当的处理。我的选择是先回顾有关“变量和常量”这两个概念，然后通过之前“14.1.1变量”这一节所提到的前三个问题入手，得出关系式，填写好当其中一个变量确定后所对应的数值（每个问题做了一份表格），完成这三个问题后，让学生来归纳其特征，从而过渡到学习“函数”的概念这一教学环节上来。从实施的情况来看，效果不理想，主要原因是在这三个问题的处理上时间稍显过长，最重要的一点是在引导学生去思考这些问题的特征时，语言不够简练恰当，使得学生在这里的思考陷入困境，课堂氛围陷入僵局。由于自己的引导预设的原因，学生做出了非本人预想的回答，打乱了我的教学思路，致使后面的教学受到了影响。具体情况是这样的，当我提问学生“观察上述问题，每个问题中有几个变量？同一个问题中的变量之间有什么关系？”时，随口说了一句“请同学们观察这三个问题，有何共同点？”在我的引导下，学生说出了两个我想要的答案——一是都存在两个变量，二是当其中一个变量取了一个确定的数值时，另一个变量会有唯一确定的值与之对应，接下来又有学生说出了第三个，那就是这三个问题中都存在常量，这一回答针对课件中我所设计的那三个问题是没有错的，于是我便将其写在了黑板上，但是我们仔细研究初中教材中给出的“函数”定义后会发现，存在常量并非函数关系中必须存在的本质属性，而在课堂中，我并没有跟学生解释清楚这个问题，可能致使部分学生在认识“函数”这一问题上今后还会出现偏差。
事实上，课本教材中的“心电图与人口调查”这两个实际例子，也是函数关系的一种体现，同时也可以作为论述“存在常量，并非函数关系中必须存在的因素”，因为在这两个例子中，一个是讲述心脏产生的生物电的电流与时间这两个变量之间的关系，另一个是年份与人口数这两个变量之间的关系，中间并未提到常量。（当然，对于这两个例子，是否存在常量，我觉得还值得大家进一步思考与讨论，我只是从函数的表达方式上观察得出的）。学习“函数”概念的关键是在“变化与对应”，且是当自变量的值确定时，有唯一确定的函数值与之相对应，我觉得在这里我讲的还不够好，还不够清楚，前面的例子的引入并没有起到我预想的效果，这值得我认真的思考——该如何有效的利用这些实际问题来进行“函数”的概念教学。
在本次教学中，对于“人口调查”这一问题的讲解上也有问题。我原本想让学生观察找到其与之前的问题的共同特征——“存在两个变量”和“对于其中一个变量去确定的值后，另一个变量也有唯一确定的值与之对应”，但事实证明，学生很难找到其与前面三个问题的'共性，当我提出让学生观察并发现后，部分学生的思维被
发散了很多，导致思考漫无边际，而又有一些学生思维陷入了困局，不知从何回答。课后，我也思考了一番，不如讲完前三个实际问题后，便给出“函数”的概念，再给出“心电图”和“人口调查”这两个例子，来印证和说明这也是一种函数关系，进而再讲解，函数的三种表示方法——解析法，图像法和列表法。这样的处理会不会效果更好呢？星期五可以再做新的尝试。
在本次教学中，我讲课本97页的探究内容去掉了，课后许多老师提出这个内容不应删掉，我也觉得如此，这个探究内容确实能够很好的去印证“函数”概念中所蕴含的“变化”与“对应”这两个关键点，是对“函数”概念理解的很好的活动。
在例题的处理上，由于前面的时间安排的不好，使得这道题讲解的也有些匆忙。函数时研究运动变化的重要数学模型，它来源于现实生活又服务于客观实际，所以我明白教材中将实际问题贯穿始终的用意，但是这也无疑给这堂课的教学添加了难度。整体来说学生对于应用题的处理是存在一定困难的，再加上本课又加上了抽象的数学概念，从概念的获得到概念的应用，这个跨度也是有些大的，所以需要教师对于这一过程非常熟悉，非常明确本课的教学目标和重点，采取有效的教学手段，才能引导学生不会在学习中分不清方向，抓不住重点。
课后的分层练习，由于讲到这里课堂剩余的时间已不多了，所以处理的很快，学生完全是被动学习，效果应该也是打了不少折扣。
此外，本课缺少情景引入，教学目标不够清晰，教学语言不精练简介，板书不够有条理，也是本课教学存在的问题。还有在《学习卡》与课件的设计上也存在一些需要改进的地方，在这两天务必要重新设计规划了。
“上好一堂课真不容易，上好每堂课更不容易”，这次教学许多老师提了很好的意见，尤其是黄玲老师，一针见血的指出，尽管我参加过许多大赛并获过不少奖，但是这一两年感觉已经到了一个“瓶颈”，就本课的教学来说，施教者对于概念的特质还抓得不够精准，让听课者感觉有点乱，说明今后还需要加强理论上的学习，需要认真研读教材，扎扎实实的去备课。我觉得说的很对，这也反映出我在平时工作上存在的问题。这些年来，科组的老师们对我的帮助很大，尤其是科组长陈笑联老师和黄玲老师，在这里由衷的表示感谢。对个人而言，虽然参加了东莞市第一期的初中数学教师骨干培训班的培训，但从未将“骨干”跟自己划等号；尽管现在进入了“名师工作室”学习，但从不敢以“名师”自居，我的教学生涯还有很长的一段路要走，在教学教研的路上，我觉得自己还是刚刚入门，还需要不断学习，自己主动的去参加这么多的培训，其实也是想通过培训来鞭策和要求自己，不让自己松懈。没做老师之前，母亲就曾告诫我，做教师这一行是“良心活儿”，要对得起学生，对得起良心。这句话我时刻都记着，我会努力去做的。
八年级上册数学函数2
一、教学设计符合学生的认知规律，以学生的实践活动作为学生思维的切入点，创建了活泼而富有活力的课堂氛围。．重视对学生能力的培养。除培养学生积极思考、主动发言的能力外，还培养了学生的审美能力、空间观念，发展了创造力，丰富了想象力以及动手操作能力，并对“割、补”有所了解。．学生在教师的引导下自主体验、建构知识，实现了知识的再创造。学生通过小组活动,在合作学习中增强与他人的合作意识。
二、本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
三、本节课知识点的传授主要采用了与正比例函数相对照的方式进行的，这是根据现代建构主义的理论，从思维的最近发展区，通过有关知识的联想激活学生原有的函数知识，巧妙的引导学生发现正，反比例函数之间的区别与联系，掌握新知。由于本章内容是学生第一次接触函数思想，是学生认知上的一个难点，所以本节课引入时引导学生观察变量之间的对应关系，为下节函数内容做好铺垫。
四、为了调动学生的积极性，整堂课采用了小组竞赛的形式，尤其关心后进生的学习状况，适时的给予鼓励，使每位学生都学到对自己有用的数学。
五、用多媒体教学解决重点难点。
数学学科的特点是逻辑严密、思维抽象。初中学生的认知发展尚未成熟，缺乏逻辑严谨性，导致思考问题不全面，从而对数学中抽象的性质定理较难理会，而多媒体教学技术可以通过其图象及数据的处理功能在教师的操作下，层层深入地引导他们运用形象思维和直觉思维来处理问题，减少学习困难。在本节课的重点难点的解决过程中我都利用了几何画板的动态演示功能，在学生讨论反比例函数性质时，学生通过观察函数图象得出：“当k>0时，y值随自变量x的增大而减小；当k<0时，y值随自变量x的增大而增大”。这个结论是不完善的，必须补上“在每一象限内”这一条件。我处理这个问题时是利用多媒体图象的`分解和组合技术通过在函数图象的两个分支上各取一个点，引导学生去比较相应的x、y值的变化情况，让他们自己领会出应将上述结论改为“在每一象限内，当k>0时，y值随自变量x的增大而减小；当k<0时，y值随自变量x的增大而增大”。
二、本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
八年级上册数学函数3
教学目标
1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
教学重点
1.认识变量、常量. 2.用式子表示变量间关系.
教学难点:
用含有一个变量的式子表示另一个变量.
教学过程
Ⅰ.提出问题，创设情境
情景问题：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.
1.请同学们根据题意填写下表：
2.在以上这个过程中，变化的量是
________.不变化的量是__________.
3.试用含t的式子表示s.
Ⅱ.导入新课
首先让学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答.
从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：s=60t.其中里程s与时间t是变化的量，速度60千米/小时是不变的量.
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的'，如上例中的时间t、里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米/小时.
[活动]
1.每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张，票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?
2.在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.
结论：
1.早场电影票房收入：150×10=1500(元);日场电影票房收入：205×10=20xx(元)晚场电影票房收入：310×10=3100(元);关系式：y=10x
2.挂1kg重物时弹簧长度：1×0.5+10=10.5(cm)
挂2kg重物时弹簧长度：2×0.5+10=11(cm);挂3kg重物时弹簧长度：3×0.5+10=11.5(cm)
关系式：L=0.5m+10
通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量(variable)，那么数值始终不变的量称之为常量(constant).如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y;重物质量m，弹簧长度L都是变量.而票价10元，弹簧原长10cm都是常量.
八年级上册数学函数4
在今天的数学课上，我把每组的两三位学生叫到了黑板上，把前两节课学过的一次函数图像的大致画法画出来，但出乎我的预料之外的是没有一个可以完整的画得出来。我有点想不通，简简单单的k大于0上坡型，k小于0下坡型，b大于0往上平移，交y轴于正半轴，b等于0图像必过原点，b小于0往下平移交y轴于负半轴，这样的几句话都记不了。是不是我的教学有问题？还是学生上课时并不是用心来听课？不过我今天叫的这些学生上课时发呆、讲话，课外时间又没有好好的复习是他们的通病。虽然课堂是我讲话有点大声，但我并没有什么恶意，其他同学发出的笑声也不是讽刺，我们只是希望你能端正学习态度，讲究学习方法，迸发出学习的热情，一起加油，不要让全班失望，让065班的整体成绩能有所提高。
当然除了学习上令老师担忧之外，在纪律上也令老师头痛。抽烟、喝酒、写情书谈恋爱、威胁同学请客、穿奇装异服等。老师知道现在的中学生追求个性，张扬个性，这没有什么错。步入青春期，对异性产生了好感，也是本能，但越过了警戒线就不应该了。你们知道没有，你们来到学校的主要任务是什么？是学习以后为自己终身服务的科学文化知识。怎么还心思去想别的.事情呢？
在这里，我要把下面这些良言送给你们，送给所有我的学生：
1、年轻人犯错误，上帝都可以原谅，何况是一个普通的老师。但请你记住：上帝能够原谅的事，社会不一定会原谅；老师能够原谅的事，老板不一定会原谅。你将生活在现实而复杂的社会，而不是中学和天堂。
2、年轻就是资本，但年轻是学习知识和打拼事业的资本，而不是放纵自己和庸碌生活的理由。请你记住：不要以为年轻就一切还来得及，来不及的不是年龄而是在岁月流逝中所积累或错过的一切。
3、“勿以善小而不为，勿以恶小而为之。”人的品性和素质是一个长期养成的过程，而中学时的养成往往会影响你的一生。请你记住：上课说废话、发呆、搞小动作等的确不是什么大毛病，但如果养成一种习惯，就会决定你被社会“请出去”的命运。
4、尊重别人是一种美德，它会赢得认同、欣赏和合作。请你记住：不尊重朋友，你将失去快乐；不尊重同事，你将失去合作；不尊重领导，你将失去机会；不尊重长者，你将失去品格；不尊重自己，你将失去自我。
5、张扬个性表达自我是一种本能，挑战权威是一种勇气。但表达自我不能伤害别人，挑战权威不能破坏规则，除非你在进行革命。请你记住：不要试图用带有道德色彩的另类行为去赢得关注，也许在目光关注的背后是心底的离弃。
6、无知者无畏并不可怕，真正可怕的是无知者还无所谓。请你记住：不要用无所谓的态度原谅自己，对待一切，那会使一切变得对你无所谓，也会使你成为一个无所谓而又无所成的痛苦的边缘人。
说这些话，源于自责，更多的是一个老师的良知和认知，希望你们能够理解。
八年级上册数学函数5
变量与函数的意义是学生难以理解的概念，本课的学习必须用足力气，怎样引起学生的重视，除了学前动员，还有就是利用课本的编排特征加以说明，一般数学新知识的引进有一两个引例就可以了，本课为了引进新知识，课本上安排了五个引例！
在课堂学习时，五个还是要一个一个地研究过去，紧紧围绕着函数的定义解读，初步领会引例的意图，还要舍得用很到的篇幅举出一些变化的实例，指出其中的常量和变量，开始学生举出了几个例子，再由学习小组讨论交流，每个小组都收集五个以上的实例。安排这个活动的意图是让学生感知现实生活中有很多变化着的'量，并且两个变化着的量都有各自的数量关系、我们要善于发现这些数量关系，用数学的眼光观察现实世界。再结合课本上的五个引例和学生举出的实例分析解剖，得到函数的概念（一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x与y，对于其中一个变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与其对应，那么x叫做自变量，y叫做x的函数）。对照定义再回到五个引例及学生举出的实例，体会函数的意义。
函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”；函数的要点是：
1有两个变量，
2一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，
3一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应；
函数的实质是：两个变量之间的对应关系；学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。
作了上面的学习过程，使我们这一课更加厚重。
八年级上册数学函数6
一、变量与函数
[变量和常量]
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
[函数]
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数。如果当 时 ，那么 叫做当自变量的值为 时的函数值。
[自变量取值范围的确定方法]
1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
[函数的图像]
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
[描点法画函数图形的一般步骤]
第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);
第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
[函数的表示方法]
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
[正比例函数]
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数(proportional function)，其中k叫做比例系数.
[正比例函数图象和性质]
一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.
(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)
(2) 必过点：(0，0)、(1，k)
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴
[正比例函数解析式的确定]——待定系数法
1. 设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)
2. 把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程
3. 解方程，求出系数k
4. 将k的值代回解析式
二、一次函数
[一次函数]
一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k 0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.
[一次函数的图象及性质]
一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)
(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k 0)
(2)必过点：(0，b)和(- ，0)
(3)走向： k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.
(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.
(6)图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
[直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系]
(1)两直线平行：k1=k2且b1 b2
(2)两直线相交：k1 k2
(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2
[确定一次函数解析式的方法]
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.
[一次函数建模]
函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.
正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.
从图象中获取的信息一般是：(1)从函数图象的形状判定函数的类型;
(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的`关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.
三、用函数观点看方程(组)与不等式
[一元一次方程与一次函数的关系]
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
[一次函数与一元一次不等式的关系]
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.
[一次函数与二元一次方程组]
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同.
(2)二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数y= 和y= 的图象交点.
三个重要的数学思想
1.方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中数学最重要的就是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。
2.数形结合的思想。任何一道题，只要与形沾边，就应该根据题意中的草图分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强。
3.对应的思想。
初中生数学成绩的提高，需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。
合数的概念
合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。
八年级上册数学函数7
“有了函数意义和函数的图象认识，我们有能力开始具体的函数的研究了，按照从简单到复杂的认知规律，今天我们研究的函数是最简单和最常见的，从实际问题入手，我们来看以下引力”，接着从四个具体的函数实例进行观察、归纳和总结，得出正比例函数的定义，结合定义写出一些正比例函数、进行判断，利用定义给出含字母的函数解析式是正比例函数，求字母的值。
研究函数的方法是结合和利用函数的图象，因此，引导学生画出具体的一些正比例函数的图象（分工比赛，资源共享，合作研究），有学生画出的众多的函数图象进行提升，得出图象的形状特征、位置情况、变化趋势，做到真正是学生自己探究得到了图象和性质，性质的叙述必须与图形相联系，这是数形结合的基础。本课的时间不是太紧的，在知识内容上，老教材中有两个变量成正比例的说法，由于训练题中少不了还有类似的'应用，因此，我们也一样介绍了这一说法，在后面的应用中，要让学生体会成正比例和正比例函数的区别联系，在小学里，我们学过：“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。且一种量随着另一种量的增大而增大。如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成，我们就称这两个变量成正比例。用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y/x=k(一定)。正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变”。正比例函数是：“形如y=kx的函数（k为常数，k≠0）”。两者揭示的两个变量之间的数量关系实质是一样的，成正比例“比值一定”，则两个变量不能取零，在y=kx中自变量x和函数y的值可以为零。另外，小学里没有学习负数，因此学生的印象是：两个变量成正比例，则“同时扩大，同时缩小，比值不变”，而正比例函数y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。再有，两个变量成正比例，这两个变量可以是一个字母，也可以是一个整体，如y＋3与3x－1成正比例，当x＝1时，y＝3，求y与x的函数关系式，此时y不是x的正比例函数。
八年级上册数学函数8
课程改革的关键是教师观念的改变，重视学生的主体作用，强调让学生经历学习的过程，让学生真正成为学习的主人。教师不应该仅仅是课程的实施者，而且应该成为课程的创造者和开发者。
根据建构主义情境教学理论，任何知识的教学，应该以学生原有的知识和经验为起点，创设激发学生的学习动机，并蕴涵数学知识的学习情境，因此本节课按照“情境—问题”的教学模式展开教学，教学过程分七个环节：1看一看2说一说3练一练4议一议5用一用6小结7作业，教学在一种轻松愉快的环境中完成，而且取得了很好的教学效果。我创设了“看一看”中的沙漏这一问题情境，调动了学生的学习积极性。在课本乘火车谈车速、路程和时间的基础上设计了“说一说”中的秋游，打电话等学生熟悉的场景，让学生感受常量和变量。“议一议”以学生合作探究活动为主，为学生提供了动手、动口、动眼、动脑的机会，引导学生进行数学思考，体现“做数学”的理念，充分展现了知识的形成过程，从而突破本节课的难点即函数概念的'理解。
教学设计中，始终把对知识的学习与师生的共同活动与交流相结合，把对知识的理解放置在具体情景中，采用了多种形式的学习活动，给学生足够的、自主的空间和活动机会，使学生动手、动脑进行探索，在合作与交流中，体会常量与变量的意义，理解函数的概念，发展抽象概括能力。数学强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。通过设计有层次“练一练”、“用一用”使学生进一步巩固对常量、变量及函数概念的理解，并在此基础上获得总结提升。使学习成为在教师引导下学生主动构建富有个性的学习过程。
八年级上册数学函数9
函数是中学数学中的重要概念、它既是从客观现实中抽象出来的，又超越了千变万化的客体的个性，其内涵极为深刻，外延又极为广泛、所以它既是重点，又是难点、教学时，教师应采取以下有效的措施：
1、注重概念的引入
为引入函数概念，课本上讲了四个例子，教师可根据学生的实际再增加一些例子、对每个例子都要进行分析，揭示它们的共同特性：
（１）问题中所研究的两个变量是互相联系的；
（２）其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；
（３）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应、
2、准确理解定义
课本中函数的定义包含着三层意思：
（１）“ｘ在某一范围内的每一个确定的值”，是说自变量是在某一范围内变化的，它揭示了自变量的取值范围；
（２）“ｙ都有唯一确定的值和它对应”，它既揭示了所研究的函数是单值函数，又反映了两个变量间有着一个相互依存的关系，即函数的对应法则；
（３）谁是谁的函数要搞清、定义中说的是“ｙ是ｘ的函数”、
3、不断深化概念
在几类具体函数的研究过程中，要注重把所得的具体函数与函数的定义进行对照，使学生进一步加深对函数概念的理解、
4、强化函数性质的应用
不同的函数有不同的特性，探求并掌握一个新函数的性质是我们追求的目标、在掌握函数性质的同时，要注重强化学生应用函数性质的意识、应用函数性质时还应注意以下两点：
（1）、借助函数解题
我们知道，代数式、方程、不等式与函数有着密切的关系，因此可构造函数，利用函数的性质解决有关的问题、例如构造二次函数研究一元二次方程根的分布问题、解一元二次不等式等、
（2）、利用函数解决实际问题
利用函数知识解实际问题是近几年高考出题的热点、这类题目可以培养学生综合运用
知识的能力，增强学生用数学的意识、但教材中这类题目设计得较少，应根据学生的实际补充一定的例题或习题、
5、加强数学思想方法的.教学
新大纲把数学思想方法纳入数学基础知识的范畴，因此要加强数学思想方法的教学、函数这一章主要体现了以下思想或方法：
配方法、这一方法要求所有的学生都要掌握、
待定系数法、这一方法是求函数解析式的重要方法，要切实掌握、教学中，还可以根据学生的实际，介绍待定系数在其他方面的应用、
数形结合法、数形结合是数学的重要思想方法、在几类具体函数的研究过程中，要始终抓住数与形的结合，即根据解析式画出图形，又依靠图形揭示函数的性质、数形结合也是一种重要的解题方法，要引导学生利用数形结合法解题，以开发智力、培养能力。
八年级上册数学函数10
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数的图象及性质
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（—b/k，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b（k、b是常数，k≠0）
（2）必过点：（0，b）和（—b/k，0）
（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；
k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；
b<0，图象经过第三、四象限
k>0，b>0；<=>直线经过第一、二、三象限
K<0，b>0；<=>直线经过第一、二、四象限
K<0，b<0；<=>直线经过第二、三、四象限
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。
（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2
（2）两直线相交：k1≠k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
确定一次函数解析式的方法
（1）根据已知条件写出含有待定系数的.函数解析式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果。
函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题。建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题。
正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线。这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义。从图象中获取的信息一般是：
（1）从函数图象的形状判定函数的类型；
（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义。解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。
用函数观点看方程（组）与不等式
一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值。
一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。
一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=—（a/b）x++c/b的图象相同。
（2）二元一次方程组
a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2；的解可以看作是两个一次函数y=（a1/b1）x+c1/b1和y=—（a2/b2）x+c2/b2的图像交点。
八年级上册数学函数11
从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。
通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有令人不满意的地方。教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状，二是两点法画一次函数的图象，三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系。
在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的形状，两条直线的位置关系。
在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究k、b符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。本节课的重点是由一次函数的'解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中k、b符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照k、b的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确k的符号决定直线的什么位置，b的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中k、b的符号的练习，收到了一定的效果。
八年级上册数学函数12
整个新课讲解分为实例引入—讨论分析—归纳概括—巩固概念等四个小环节来进行。其中的实例引入部分，分别用了弹簧拉力器、吃大锅饭以及我的手机话费等贴近学生生活的实例入手，让学生明白、理解数学来源于生活应用于生活。特别是弹簧拉力器的引入，即活跃了课堂气氛也增加了学生学习的趣味性，得到了听课老师的一致好评。整节课的量适当，表达流利，跟学生的互动性好，学生的参与更加生动地体现了问题的情景，促使每一位学生都积极的参与解决问题，从而培养了学生“乐学”、“爱学”的学习态度。
然而，作为新老师的第一次公开课，难免存在着不足之处。比如在实例引入之后，过快的建立了数学模型，没有留给学生足够的思考时间。对于概念的阐述，也没有用其他的文字等形式去补充过渡，让学生有突兀的感觉，略显单调，沉闷。板书的书写也不是很完善，字体稍微潦草。虽然学生的基础不错，但整节课的.课堂节奏过快，没有足够的时间留给学生去思考，联系。一部分学生还是没能跟的上我的思维，这方面以后一定要加强改进。
对于这节课所暴露的问题，我一定会认真去对待，多花时间在备课上，多听听其他老师的课，吸取他们的课堂经验，为自己以后成为一名优秀的教师而努力。
八年级上册数学函数13
一定要做好预习
初二学生想要学好数学，一定要学会提前预习。将老师要将的内容提前预习一下，对于自己在预习中会出现的不理解的概念或者不懂的知识点，要做好标记和记录，这样初二学生在数学课堂上才会注意力集中，这样在听课的过程中才能够跟上老师的讲课思路，自己的思维才能够集中。带着问题去听老师讲课，这样会将被动的学习变为主动，可以有效的提高初二新生在数学课堂上的学习效率。
课下要学会及时复习
当初二学生在课上认真听讲后，那么对于初二数学的学习课后也是需要及时复习的。当老师讲完初二数学一节课的内容之后，初中生一定要听明白，不要留下任何的疑点，有不懂的地方要及时的问同学或者老师。这样在课后复习的时候才能够自己独立的去完成作业。每一次的初二数学课后，初中生都应该将这节课学习的知识点进行归纳和整理。
初中数学有理数知识点
（一）定义
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
（二）有理数的性质
（1）顺序性
（2）封闭性
（3）稠密性
（三）有理数的加法运算法则
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的'两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
9、减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
八年级上册数学函数14
教学目的：
1．了解常量与变量的意义，能分清实例中的常量与变量；
2．了解自变量与函数的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式；
3．培养学生观察、分析、抽象、概括的能力；
4．对学生进行相互联系、绝对与相对、运动变化的辩证唯物主义观点的教育和爱国、爱党、爱人民的教育，数学教案－函数。
教学直点：
函数概念的形成过程。
教学难点：
理解函数概念。
教具：
多媒体。
教学过程：
一、创设情境
首先请同学们看一组境头：（微机播放今夏抗洪片段）唤起学生对今夏洪水的回忆，对学生渗透爱国、爱党、爱人民的教育。
二、形成概念
（一）变量与常量概念的形成过程
1．举例、归纳
引例1：沙市今夏7、8两个月的水位图（微机示图）
学生观察水位随时间变化的情况，（微机示意）引出“变量”。
引例2：汽车在公路上匀速行驶（微机示意）
学生观察汽车匀速行驶的过程，加深对变量的认
识，引出“常量”。
设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？（微机显示：下方汽车匀速行驶，上方S的值随t的值变化而变化。）
引导学生观察发现：是量的数值变与不变。
归纳变量与常量的定义并板书。
2．剖析概念
常量与变量必须存在于一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量，需着两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取植情况。
3．巩固概念
练习一：
1．向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆（微机示意）。①在这个变化过程中，有哪些变量？②若面积用S，半径用R表示，则S和R的关系是什么？；π是常量还是变量？③若周长用C，半径用R表示，C与R的关系式是什么？
2．（见课本第92页练习1）
学生回答后指出：常量与变量不是绝对的，而是对于一个变化过程而言的。
（二）自变量与函数概念的形成过程
1．举例、归纳
（微机一屏显示两个引例）学生再次观察引例1、2两个变化过程，寻找共同之处：①一个变化过程，②两个变量，③一个量随另一个量的变化而变化。
若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。（引出课题并板书）
设问：上述第三条是形象描述两个变量的`关系，具体地说是什么意思？
以引例2说明：（微机示意）
设问：在S＝30t中，当t＝0.5时，S有没有值与它对应？有几个？
反复设问：t＝l，1．5，2，3……时呢？
引导学生观察发现：对于变量t的每一个值，变量S都有唯一的值与它对应。所以两个变量的关系又可叙述为：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应。即一种对应关系。（微机出示）
在s＝30t中，s与t具有这种对应关系，就说t是自变量，S是t的函数。引出“自变量”、“函数”。
归纳自变量与函数的定义并板书，初中数学教案《数学教案－函数》。
2．剖析概念
理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。
3．巩固概念
练习二：
l）某地某天气温如图：（微机示图）气温与时间具有函数关系吗？
学生回答后指出这里函数关系是用图象给出的。
2）宜昌市某旅游公司近几年接待游客人数如表：（微机示表）游客人数与时间具有函数关系吗？学生回答后指出这里函数关系是用表格给出的。
3）在S＝?d中，S与R具有函数关系吗？C＝ZπR中，C与R呢？（微机显示变化过程）学生回答后指出这里函数关系是用数学式子结出的。
4）师生共同列举函数关系的例子。
三、例题示范
（微机出示例1，并演示篱笆围成矩形的过程。）
指导：1．篱笆的长等于矩形的周长；2.S与1的关系式，即用1的代数式表示S；3．表示矩形的面积，需先表示矩形一组邻边的长。
解题过程略。
变式练习：
用60m的篱笆围成矩形，使矩形一边靠墙，另三边用篱笆围成，（微机示意）
1．写出矩形面积s（m?）与平行于墙的一边长l（m）的关系式；
2．写出矩形面积s（m?）与垂直于墙的一边长l（m）的关系式。并指出两式中的常量与变量，函数与自变量。
四、反馈练习（微机示题）
五、归纳小结
1．四个概念：常量与变量，函数与自变量。
2．两个注意：①判断常量与变量看两个方面。②理解函数概念把握三点。
六、布置作业
1．必做题：课本第95页，练习1、2.
2．思考题：
①在 y＝ 2x＋l中，y是x的函数吗？?＝x中，y是X的函数吗？
②引例2的s＝30t中，t可以取不同的数值，但t可以取任意数值吗？
教案设计说明
根据本节内容的特点——抽象、难懂的概念深。
我按以下思路设计本课：坚持以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；遵循特殊到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难的认识规律。教学过程特突出以下构想：
一、真景再现，引人入胜
上课后，首先播放一组动人的抗洪镜头，把学生分散的思维一下子聚拢过来，学生情绪、课堂气氛调控到最佳状态，为新课的开展创设良好的教学氛围。因为它真实、贴近学生的生活，所以唤起他们对今夏所遭受的那场特大洪水的回忆，教师有机地对学生渗透爱国、爱党、爱人民的教育。
二、过程凸现，紧扣重点
函数概念的形咸过程是本节的重点，所以本节突出概念形成过程的教学，把过程分为三个阶段：归纳、剖析与巩固。第一阶段里举学生熟悉的、形象生动的例子，引导学生观察、分析尔后归纳。第二阶段里帮助学生把握概念的本质特征，提出注意问题。第三阶段里引导学生运用概念并及时反馈。同时在概念的形成过程中，着意培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。引导学生从运动、变化的角度看问题时，向学生渗透辩证唯物主义观点的教育。
三、动态显现，化难为易
函数概念的抽象性是常规教学手段无法突出的，为了扫除学生思维上的障碍，本节充分发挥多媒体的声、像、动画特征，使抽象的问题形象化，静态方式的动态化，直观、深刻地揭示函数概念的本质，突破本节的难点。同时教学活动中有声、有色、有动感的画面，不仅叩开学生思维之门，也打开他们的心灵之窗，使他们在欣赏、享受中，在美的熏陶中主动的、轻松愉快的获得新知。
四、例子展现，多方渗透
为了使抽象的函数概念具体化，通俗易懂，本节列举了大量的生活中的例子和其他学科中的例子，培养学生的发散思维、加强学科间的渗透，知识问的联系，也增强学生学数学、的意识。
八年级上册数学函数15
在指导教师陆春蕾老师的指导下，经过我们的多次沟通，我进行了多次修改，我上了的研究课《14.2.2一次函数（2）》，内容是一次函数的图象和性质。反思这节课，自己评价为很烂的一节课。
1、不足之处：
（1）课前对学生备的不充分，不了解学生对函数图象的画法和正比例函数的图象与性质掌握的程度如何，导致本节课不能按照预期的设想顺利进行。本节课一开始我设计了通过两个具体的正比例函数对正比例函数图象和性质进行了复习，大部分学生对正比例函数的性质掌握的还比较好，第二个活动是通过学生画函数y=x，y=x+2，y=x-2的图象，探究正比例函数和一次函数图象之间的关系，但是由于不了解学生画函数图象掌握的怎么样，高估了学生的能力，看到学生连列表都不知道什么意思，大部分学生不会画函数图象，在这个活动里耽误了很多的时间，我也就有些紧张，有些着急，直接影响了后面的教学活动。
（2）心理素质差，随机应变的能力比较差。由于学生画图象的表现对我的'影响，一时的紧张让我对后面的教学有些混乱，思路不清晰，所以后面的教学中有些语无伦次，事先备好的环节不连贯，联系不紧密。
（3）由于活动二浪费了时间，所以后面的活动四探究一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b对函数图象有什么影响的时间就有些紧，探究的不充分，不够，学生思考的时间比较少，没有发挥学生的主体性，让学生真正动起来。
（4）学生比较沉默，不爱说，课堂比较死板，不活跃，所以整节课我说的太多，学生说的动的少。
2、提高的地方：
通过本次备课、说课、上课的活动，我觉得自己也有所提高。
（1）本次课通过与陆老师的交流，经过陆老师的指导，经过四次的备课修改，反复斟酌，最后成型的。最开始是按照陆老师的要求把一次函数的定义和一次函数的图象与性质合为一节课来讲，于是我就按照我的思路，我的站位备了课。第二次交流的时候，我们觉得这样内容太多，东西也太碎了，于是又统一意见，陆老师讲一次函数的定义，我们讲后一节一次函数的图象与性质。这样我又修改我的教学设计，备好之后给陆老师看，陆老师基于对学生、对教材的理解和站位又给我一些好的建议，我开始了第二次修改，也就是第三次备课。备好之后有拿给陆老师看，一同交流讨论，交换意见，又有所修改，周末回家我又对本节课进行斟酌，修改一些细节的东西，连同学案发给了陆老师，陆老师又认真的看了我的课件和学案，还为我重新设计了学案的排版，替我重新画了平面直角坐标系，使学案看上去更加美观。讲课的前一天我们又重新的沟通了意见，最后敲定。这个备课的过程虽然很复杂，修改数次，但在与陆老师交换意见的同时，使我对本节课的思路更加明确，站位更准，同时也深深的感受到陆老师对教材、对知识的理解，以及对数学思想和学法的渗透真真正正的是从学生的角度出发，以学生为本，这也是我今后应该努力的地方。
（2）通过周一的说课，在吴老师的指导下，我学到了很多关于细节的知识，如：PPt上的格式，对齐方式问题；“1”后面应该是“.”，而不是“、”，PPt上用的字体只有两种：宋体或者黑体；学案应该如何设计更好，坐标系要画的特别标准，并且美观，为此，陆老师特意为我重新设计了学案。这些细节我以前真的都不知道，因为，从没有人和我说过这些问题，我也从没把这些当回事去请教谁，这对于我来说真的是一个很大的收获，非常感谢吴老师和陆老师的指导。
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