《椭圆及其标准方程》的说课稿

2021-02-17 说课稿

尊敬的各位评委、各位老师：

　　大家好！我说课的题目是人教版普通高中课程选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》。下面我就教材分析、学生情况分析、教学目标、教法与学法、教学过程的设计、板书设计、教学设计说明这几方面内容向大家进行阐述。

　　一、教材分析

　　圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：

　　第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。

　　第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

　　第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

　　二、学生情况分析

　　1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

　　2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。

　　三、教学目标

　　根据学生的实际、课标的要求和本节课内容的特点，教学目标确定如下：

　　（一）教学目标

　　1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生理解椭圆的定义，掌握椭圆

　　标准方程的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程。

　　2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。

　　3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。

　　（二）教学重点和难点

　　1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。

　　2.难点：椭圆标准方程的推导。

　　四、教法与学法

　　1．教法

　　为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。

　　2．学法

　　在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。

　　3．教学准备

　　(1)学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。

　　(2)教师准备：用几何画板制作的相关课件。

　　五、教学过程的设计

　　（一）创设情境，复习引入

　　首先，提出问题：“前一段时间我们学习了直线和圆的方程，用到了两种方法，是什么呢？”学生经过回忆，容易得出结论。这时，教师指出：这两种方法是解析几何中研究曲线与方程常用的方法。

　　接下来我用课件演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题：“这些天体运行的轨迹是什么呢？”

　　学生经过观察，很直观地看出是椭圆，从而引出课题。

　　再次提问：“我们能否求出这些天体运行的轨迹方程呢？学习了本节课的内容，就可以解决这个问题。”

　　这样设计的意图是：一方面，通过复习前面学过的有关知识，唤起学生的记忆，为本节课学习作好铺垫。另一方面，借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。

　　（二）动手实验，归纳概念

　　“一石激起千层浪”，一个富有挑战性的问题，将会把学生带入自主探究的情境中去。此时，学生已经有了浓厚的学习兴趣，我继续提问：“你们还记得前面我们不用圆规是怎样画出圆的图形的？又是怎样给圆下定义的？”在学生回答后，我用课件演示圆的形成过程。

　　接着，我让学生拿出事先准备好的学具，动手实验。类比画圆的过程，看能否画出椭圆，并给予指导。待大多数学生都有了结果后，我再用课件演示画椭圆的过程。提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”

　　让学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。”

　　我继续提问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？”

　　先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步完善，概括出椭圆的定义。

　　椭圆的定义：

　　平面内与两个定点、的距离之和等于常数（r;"/>" v:shapes="_x0000_i1028" alt="" />|）的点的轨迹叫做椭圆。定点、叫做椭圆的焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

　　得到椭圆的定义后，我会引导学生对定义中的关键词进行分析理解，帮助学生更好地领会椭圆的定义。

　　此时，可能会有学生提出：“为何‘常数’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？”

　　我不急于告诉学生答案，先让学生思考并发表自己的见解，最后再用课件演示进行说明。

　　这样设计的意图是：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。

　　（三）启发引导，推导方程

　　提出了问题就要解决问题，怎么推导椭圆的标准方程呢？让学生运用研究直线与圆的方程的方法——坐标法，去推导椭圆的方程。本环节我按如下几个步骤进行：

　　（1）建立直角坐标系，设出动点的坐标

　　我启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。学生可能会有如下几种建系方案：

　　方案1：以定点F1为原点，两定点的连线为X轴；

　　方案2：以定点F2为原点，两定点的连线为X轴；

　　方案3：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴；

　　方案4：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。

　　方案１方案２方案３方案4

　　我加以引导：根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，你们会选择哪种方案呢？经过讨论，大多数学生可能会选择方案3或方案4来推导椭圆的标准方程，我表示赞同。按方案3建系，引导学生设出动点M的坐标及相关常数。

　　（2）写出动点M满足的集合

　　这里我启发学生根据椭圆的定义，写出动点M满足的集合，即：

　　P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝

　　如果学生有困难，可以安排进行小组讨论交流。

　　(3)坐标化

　　引导学生在设点的基础上,将前面得到的关系式用坐标表示出来。这里学生不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程:

　　(4)化简

　　带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方,且方程中字母多,次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法。一般来说：

　　①方程中只有一个二次根式时，需将它单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边，平方一次；②方程中有两个二次根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式，平方两次。

　　接着让学生自己动手开始化简。我安排一名程度较好的学生上来板演，以便点评。待大多数学生都有了结果

　　之后，我指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观察图形：

　　提出问题：“你们能从图中找出表示a、c、的线段吗？”

　　通过观察，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具有了对称性，而且使字母b也有了明确的几何意义。从而将方程简化为：告诉学生:可以证明它就是椭圆的方程，我们称它为椭圆的标准方程。

　　小结：这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：（1）建系设点（2）写出动点满足的集合（3）列式（4）化简这样设计的意图是：使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的`获取。通过讨论，让学生互相交流，互相学习，培养他们的合作意识和谦虚好学的品质。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

　　(四)拓展引申，对比分析

　　本环节我首先提出问题：“刚才我们得到了焦点在X轴上的椭圆方程，如何推导焦点在Y轴上的椭圆的标准方程呢？”

　　学生可能不假思索地回答：“按方案4建系再推一遍”。

　　我启发：“可以，还有别的方法吗？”

　　学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的椭圆的标准方程：

　　接下来，我通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解。

　　椭圆的定义

　　分类

　　焦点在x轴上

　　焦点在y轴上

　　图像

　　标准方程