数列的测试题

2021-06-23 试题

　　1．数列1，12，14，…，12n，…是()

　　A．递增数列B．递减数列

　　C．常数列D．摆动数列

　　答案：B

　　2．已知数列{an}的通项公式an＝12[1＋(－1)n＋1]，则该数列的前4项依次是()

　　A．1,0,1,0B．0,1,0,1

　　C.12，0，12，0D．2,0,2,0

　　答案：A

　　3．数列{an}的通项公式an＝cn＋dn，又知a2＝32，a4＝154，则a10＝__________.

　　答案：9910

　　4．已知数列{an}的通项公式an＝2n2＋n.

　　(1)求a8、a10.

　　(2)问：110是不是它的项？若是，为第几项？

　　解：(1)a8＝282＋8＝136，a10＝2102＋10＝155.

　　(2)令an＝2n2＋n＝110，∴n2＋n＝20.

　　解得n＝4.∴110是数列的第4项．

　　一、选择题

　　1．已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3等于()

　　A．3B．9

　　C．12D．20

　　答案：C

　　2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()

　　A．1，12，13，14，…

　　B．－1，－2，－3，－4，…

　　C．－1，－12，－14，－18，…

　　D．1，2，3，…，n

　　解析：选C.对于A，an＝1n，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－(12)n－1，它是无穷递增数列．

　　3．下列说法不正确的是()

　　A．根据通项公式可以求出数列的任何一项

　　B．任何数列都有通项公式

　　C．一个数列可能有几个不同形式的通项公式

　　D．有些数列可能不存在最大项

　　解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….

　　4．数列23，45，67，89，…的第10项是()

　　A.1617B.1819

　　C.2021D.2223

　　解析：选C.由题意知数列的通项公式是an＝2n2n＋1，

　　∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故选C.

　　5．已知非零数列{an}的.递推公式为an＝nn－1an－1(n＞1)，则a4＝()

　　A．3a1B．2a1

　　C．4a1D．1

　　解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2a1；当n＝3时，a3＝32a2＝3a1；当n＝4时，a4＝43a3＝4a1.

　　6．(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝12an，则数列{an}是()

　　A．递增数列B．递减数列

　　C．常数列D．摆动数列

　　解析：选B.由a1>0，且an＋1＝12an，则an>0.

　　又an＋1an＝12<1，∴an＋1<an.

　　因此数列{an}为递减数列．

　　二、填空题

　　7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为__________．

　　解析：由an＝19－2n>0，得n<192，∵n∈N*，∴n≤9.

　　答案：9

　　8．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，则α、β的值分别为________、________.

　　解析：由题意an＋1＝αan＋β，

　　得a2＝αa1＋βa3＝αa2＋β5＝2α＋β23＝5α＋βα＝6，β＝－7.

　　答案：6－7

　　9．已知{an}满足an＝－1nan－1＋1(n≥2)，a7＝47，则a5＝________.

　　解析：a7＝－1a6＋1，a6＝1a5＋1，∴a5＝34.

　　答案：34

　　三、解答题

　　10．写出数列1，23，35，47，…的一个通项公式，并判断它的增减性．

　　解：数列的一个通项公式an＝n2n－1.

　　又∵an＋1－an＝n＋12n＋1－n2n－1＝－12n＋12n－1＜0，

　　∴an＋1＜an.

　　∴{an}是递减数列．

　　11．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．

　　(1)求数列{an}的通项公式；

　　(2)求a2011；

　　(3)2011是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？

　　解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有k＋b＝3，17k＋b＝67，

　　解得k＝4，b＝－1.∴an＝4n－1.

　　(2)a2011＝4×2011－1＝8043.

　　(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，

　　∴2011是数列{an}的第503项．

　　12．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.

　　(1)问－60是否是{an}中的一项？

　　(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0?

　　解：(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2.

　　解得n＝10或n＝－9(舍去)．

　　∴－60是{an}的第10项．

　　(2)分别令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，

　　解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，

　　即n＝6时，an＝0；

　　0＜n＜6时，an＞0；

　　n＞6时，an＜0.

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