高二数学余弦定理练习题

2021-06-22 试题

　　1.数学余弦定理练习题高二1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120，则边c的值是()

　　A.8 B.217

　　C.62 D.219

　　解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246cos 120=76，c=219.

　　2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120，则sin A的值为()

　　A.5719 B.217

　　C.338 D.-5719

　　解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C

　　=22+32-223cos 120=19.

　　c=19.

　　由asin A=csin C得sin A=5719.

　　3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.

　　解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a222a2a=78.

　　答案：78

　　4.在△ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断△ABC的形状.

　　解：法一：根据余弦定理得

　　b2=a2+c2-2accos B.

　　∵B=60，2b=a+c，

　　(a+c2)2=a2+c2-2accos 60，

　　整理得(a-c)2=0，a=c.

　　△ABC是正三角形.

　　法二：根据正弦定理，

　　2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.

　　又∵B=60，A+C=120，

　　C=120-A，

　　2sin 60=sin A+sin(120-A)，

　　整理得sin(A+30)=1，

　　A=60，C=60.

　　△ABC是正三角形.

　　课时训练

　　一、选择题

　　1.在△ABC中，符合余弦定理的是()

　　A.c2=a2+b2-2abcos C

　　B.c2=a2-b2-2bccos A

　　C.b2=a2-c2-2bccos A

　　D.cos C=a2+b2+c22ab

　　解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.

　　2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是()

　　A.1213 B.513

　　C.0 D.23

　　解析：选C.∵ca，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.

　　3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

　　A.锐角三角形 B.钝角三角形

　　C.直角三角形 D.不能确定

　　解析：选B.∵42=1622+32=13，边长为4的边所对的`角是钝角，△ABC是钝角三角形.

　　4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为()

　　A. B.6

　　C.2 D.3或23

　　解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，

　　cos A=b2+c2-a22bc=-12，

　　又∵0

　　5.在△ABC中，下列关系式

　　①asin B=bsin A

　　②a=bcos C+ccos B

　　③a2+b2-c2=2abcos C

　　④b=csin A+asin C

　　一定成立的有()

　　A.1个 B.2个

　　C.3个 D.4个

　　解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.

　　6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于()

　　A.14 B.34

　　C.24 D.23

　　解析：选B.∵b2=ac，c=2a，

　　b2=2a2，

　　cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a

　　=34.

　　二、填空题

　　7.在△ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则AC=________.

　　解析：由余弦定理，

　　得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，

　　即49=25+AC2-25AC(-12)，

　　AC2+5AC-24=0.

　　AC=3或AC=-8(舍去).

　　答案：3

　　8.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.

　　解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-24512=21，第三边长是21.

　　答案：21

　　9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.

　　解析：由正弦定理，

　　得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.

　　不妨设a=5k，b=7k，c=8k，

　　则cos B=5k2+8k2-7k225k8k=12，

　　B=3.

　　答案：3

　　三、解答题

　　10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.

　　解：A为b，c的夹角，

　　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

　　16=9+c2-635c，

　　整理得5c2-18c-35=0.

　　解得c=5或c=-75(舍).

　　由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-25243=0，

　　∵0

　　11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.

　　解：由题意可知，

　　(a+b+c)(a+b-c)=3ab，

　　于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，

　　即a2+b2-c22ab=12，

　　所以cos C=12，所以C=60.

　　12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.

　　解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，

　　得c=aa2+c2-b22ac，c2+b2=a2，

　　△ABC是以A为直角的直角三角形.

　　又∵b=asin C，b=aca，b=c，

　　△ABC也是等腰三角形.

　　综上所述，△ABC是等腰直角三角形.

　　余弦定理练习题

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