高中新课程训练题及答案

2021-06-21 试题

  一、选择题(本小题共12小题,每小题5分,共60分)

  1. 若是平面外一点,则下列命题正确的是

  (A)过只能作一条直线与平面相交 (B)过可作无数条直线与平面垂直

  (C)过只能作一条直线与平面平行 (D)过可作无数条直线与平面平行

  2.在空间四边形中,、、、上分别取、、、四点,如果、交于一点,则( )

  A.一定在直线上 B.一定在直线上

  C.在直线或上 D.既不在直线上,也不在上

  3.如图S为正三角形所在平面ABC外一点,且SA=SB=SC=AB,E、F分别为SC、AB中点,则异面直线EF与SA所成角为( )

  A.90? B.60? C.45? D.30?

  4.下列说法正确的是( )

  A.若直线平行于平面内的无数条直线,则

  B.若直线在平面外,则

  C.若直线,,则

  D.若直线,,则直线就平行于平面内的无数条直线

  5.在下列条件中,可判断平面与平面平行的是( )

  A.、都垂直于平面

  B.内存在不共线的三点到平面的距离相等

  C.、是内两条直线,且,

  D.、是两条异面直线,且,,,

  6 若为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① ② ;③ ,其中正确的命题有( )

  A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

  7.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当点D到平面ABC的距离最大时,直线BD和平面ABC所成角的大小为 ( )

  A.90? B.60? C.45? D.30?

  8.PA、PB、PC是从点P引出的三条射线,每两条射线的夹角均为60?,则直线PC与平面APB所成角的余弦值是( )

  A. B. C. D.

  9.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,则EF与对角面A1C1CA所成角的度数是( )

  A.30? B.45? C.60? D.150?

  10.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是

  (A)若AC与BD共面,则AD与BC共面

  (B)若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线

  (C)若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

  (D)若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC

  11.对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是

  (A)若则 (B)若则

  (C)若则 (D)若、与所成的角相等,则

  12.给出以下四个命题:

  ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,

  ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

  ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,

  ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

  其中真命题的个数是

  A.4 B. 3 C. 2 D. 1

  二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)

  13.设是直二面角,,,,,

  则 。

  14.、、是两两垂直且交于O点的三个平面,P到平面、、的距离分别是2、3、

  6,则 。

  15. 如图,在正三棱柱中,AB=1。若二面角的大小为,则点到直线AB的距离为 。

  16.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_______________

  三、解答题(本大题共6小题,共74分)

  17.如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。

  (I)求证:BD⊥平面ACC1A;

  (II)若二面角C1-BD-C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成角的大小。

  18.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,,,

  ⑴求证:平面AB1C⊥平面BB1C;

  ⑵求点B到平面AB1C的距离。

  19. 如图1,已知ABCD是上.下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2.

  (Ⅰ)证明:AC⊥BO1;

  (Ⅱ)求二面角O-AC-O1的大小.

  20.如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120?,

  求:⑴A、D连线和平面DBC所成的角;⑵二面角A—BD—C的正切值。

  21. 如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱。

  (1)证明FO//平面CDE;

  (2)设,证明EO⊥平面CDF。

  22.(本小题满分12分)

  如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,

  (I)求证:平面BCD;

  (II)求异面直线AB与CD所成角的大小;

  (III)求点E到平面ACD的距离。

  参考答案

  一、选择题

  DBCDD CCCAC CB

  12.提示:BD1⊥平面AB1C,EF⊥平面AB1C

  二、填空题

  13.60? 14.7 15. 16.. 。

  三、解答题

  17.

  解法一:

  (1)∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱

  ∴CC1⊥平面ABCD

  ∴BD⊥CC1

  ∴ABCD是正方形,

  ∴BD⊥AC

  又∵AC,CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,

  ∴BD⊥平面ACC1A1

  (II)设BD与AC相交于O,连接C1O。

  ∵CC1⊥平面ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角

  ∴∠C1OC=60°

  连接A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B是BC1与AC所成角.

  设BC=a,则CO=

  在△A1BC1中,由余弦定理得

  ∴异面直线BC1与AC所成角的`大小为arccos

  解法二:(I)建立空间直角坐标系D-xyz,如图。

  设AD=a,DD1=b,则有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),

  C(0,a,0),C1(0,a,b),

  ∴BD⊥AC,BD⊥CC1

  又∵AC,CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,

  ∴BD⊥平面ACC1A1。

  (II)设BD与AC相交于O,连接C1O,则点O坐标为)

  ∴BD⊥C1O,又BD⊥CO, ∴∠C1OC=60°

  ∴异面直线BC1与AC所成角的大小为

  18.⑴由已知条件立即可证得,

  ⑵在平面BB1C内作BD⊥B1C于D,由⑴得BD⊥面AB1C,

  ∴BD为B到面AB1C的距离,∴(本题也可用体积转换)

  19..解法一(I)证明 由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.

  所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,

  即OA⊥OB. 故可以O为原点,OA、OB、OO1

  所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

  如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,)O1(0,0,).

  从而

  所以AC⊥BO1.

  (II)解:因为所以BO1⊥OC,

  由(I)AC⊥BO1,所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.

  设是0平面O1AC的一个法向量,

  由 得.

  设二面角O—AC—O1的大小为,由、的方向可知,>,

  所以cos,>=

  即二面角O—AC—O1的大小是

  解法二(I)证明 由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1,OC是AC在面OBCO1内的射影.

  因为 ,

  所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而OC⊥BO1

  由三垂线定理得AC⊥BO1.

  (II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.

  设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连结O1F(如图4),则EF是O1F在平面AOC

  内的射影,由三垂线定理得O1F⊥AC.

  所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

  由题设知OA=3,OO1=,O1C=1,

  所以,

  从而, 又O1E=OO1·sin30°=,

  ⑴显然可得MN∥平面ABC,∵平面MNC平面ABC=,∴MN∥

  ⑵∵PC⊥平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC,作MQ⊥AC,则MQ⊥平面ABC,

  作QD⊥于D,则MD⊥,MD的长即为M到的距离

  在Rt△ACB中,可求得,又,∠QCD=30?,

  ∴,,于是

  20.⑴作AO⊥BC交BC的延长线于O,∵面ABC⊥面BCD,∴OA⊥面BCD,连OD,则∠ADO就是AD与平面BCD所成的角,可求得∠ADO=45?

  ⑵作OE⊥BD于E,连AE,则BD⊥AE,

  ∴∠AEO就是二面角A-BD-C的平面角的补角,

  ∵∠ABO=60?,∴,,∵∠EBO=60?,∴

  在Rt△AOE中,,∴二面角A-BD-C的正切值为-2

  21. (1)证明:取CD中点M,连结OM,在矩形ABCD中

  ,又,则。连结EM,

  于是四边形EFOM为平行四边形

  ∴ FO//EM

  又 ∵ FO平面CDE,且EM平面CDE,∴ FO//平面CDE

  (2)证明:连结FM,由(1)和已知条件,在等边中,CM=DM,EM⊥CD且。因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM

  ∵ CD⊥OM,CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO

  而FMCD=M,所以平面CDF

  22(I)证明:连结OC

  在中,由已知可得

  而

  即

  平面

  (II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知

  直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

  在中,

  是直角斜边AC上的中线,

  异面直线AB与CD所成角的大小为

  (III)解:设点E到平面ACD的距离为

  在中,

  而

  点E到平面ACD的距离为