基本不等式专项练习题高中数学

2021-06-15 试题


  一、选择题

  1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()

  A.x+12x B.x2-1+1x2-1

  C.2x+2-x D.x(1-x)

  答案:C

  2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()

  A.32-3 B.-3

  C.62 D.62-3

  解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

  3.已知m、nR,mn=100,则m2+n2的最小值是()

  A.200 B.100

  C.50 D.20

  解析:选A.m2+n22mn=200,当且仅当m=n时等号成立.

  4.给出下面四个推导过程:

  ①∵a,b(0,+),ba+ab2baab=2;

  ②∵x,y(0,+),lgx+lgy2lgxlgy;

  ③∵aR,a0,4a+a 24aa=4;

  ④∵x,yR,,xy<0,xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

  其中正确的推导过程为()

  A.①② B.②③

  C.③④ D.①④

  解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.

  ①∵a,b(0,+),ba,ab(0,+),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;

  ②虽然x,y(0,+),但当x(0,1)时,lgx是负数,y(0,1)时,lgy是负数,②的推导过程是错误的;

  ③∵aR,不符合基本不等式的条件,

  4a+a24aa=4是错误的;

  ④由xy<0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的.条件,故④正确.

  5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是()

  A.2 B.22

  C.4 D.5

  解析:选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.

  6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()

  A.最大值64 B.最大值164

  C.最小值64 D.最小值164

  解析:选C.∵x、y均为正数,

  xy=8x+2y28x2y=8xy,

  当且仅当8x=2y时等号成立.

  xy64.

  二、填空题

  7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.

  答案:1

  8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.

  解析:1=x+4y4y=4xy,xy116.

  答案:大 116

  9.(2010年高考山东卷)已知x,yR+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.

  解析:∵x>0,y>0且1=x3+y42xy12,xy3.

  当且仅当x3=y4时取等号.

  答案:3

  三、解答题

  10.(1)设x>-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;

  (2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

  解:(1)∵x>-1,x+1>0.

  y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

  2 x+14x+1+5=9,

  当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.

  x=1时,函数的最小值是9.

  (2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

  =(x-1)+9x-1+2.∵x>1,x-1>0.

  (x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

  当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,

  y有最小值8.

  11.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

  证明:∵a,b,c(0,+),a+b+c=1,

  1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca,

  同理1b-12acb,1c-12abc,

  以上三个不等式两边分别相乘得

  (1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

  当且仅当a=b=c时取等号.

  12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

  问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

  解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.

  总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

  =800(x+225x)+12000

  1600x225x+12000

  =36000(元)

  当且仅当x=225x(x>0),

  即x=15时等号成立.

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