函数概念与基本初等函数练习题

2022-09-25 试题

　　一、函数的定义域、值域的综合应用

　　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．

　　分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．

　　解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，

　　f(x)的图象的对称轴为直线x＝5－32＝1，

　　即－b2a＝1， ①

　　又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0， ②

　　又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，

　　即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根．

　　＝(b－1)2－4ac＝0， ③

　　由①②③可得：

　　a＝－12，b＝1，c＝0.

　　则f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋1212；

　　故3n12，即n16.

　　f(x)在[m，n]上单调递增，

　　假设存在满足条件的m，n，则：

　　fm＝－12m2＋m＝3m，fn＝－12n2＋n＝3n，

　　m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.

　　又m＜n16，m＝－4，n＝0.

　　即存在m＝－4，n＝0，满足条件．

　　点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．

　　变式训练

　　1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝12(x－1)2＋1的保值区间．

　　解析：①当a1时，f(x)递减，fa＝b，fb＝a，即12a－12＋1＝b，12b－12＋1＝a，无解；②当a1，b1时，定义域里有1，而值域里没有1，不可能；③当1b时，f(x)为增函数，故fa＝a，fb＝ba＝1，b＝3，故保值区间为[1,3]．

　　二、函数单调性和奇偶性的综合应用

　　奇函数f(x)是R上的减函数，对于任意实数x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范围．

　　分析：已知条件中给出函数不等式，故要考虑利用奇函数性质和单调性化为不含函数符号的不等式来求解．

　　解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：

　　f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．

　　∵f(x)为奇函数，

　　f(kx)＞f(x2－x＋2)．

　　又∵f(x)在R上是减函数，

　　kx＜x2－x＋2.

　　即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．

　　＝(k＋1)2－42＜0，

　　解得－22－1＜k＜22－1.

　　点评：本题利用函数单调性与奇偶性将函数不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0转化为kx＜x2－x＋2，是解决此题的关键．

　　变式训练

　　2．定义在R上的函数f(x)满足f(0)0，且当x0时，f(x)1，对任意a，bR均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．

　　(1)求证：f(0)＝1.

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