等比数列练习题

2021-06-12 试题

　　等比例数列是高中数学必学的一个知识，为了巩固同学们的知识，小编为大家准备了等比数列练习题，希望大家加油。

　　一、选择题

　　1．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于( )

　　A．6 B．3×2n－1

　　C．2×3n－1 D．6n

　　答案：C

　　2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为( )

　　A.322n B.322n－2

　　C．32n－2 D．32n－1

　　解析：选C.∵q3＝a5a2＝243＝8，∴q＝2，而a1＝a2q＝32，∴an＝32×2n－1＝32n－2.

　　3．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于( )

　　A．20 B．18

　　C．10 D．8

　　解析：选B.设公比为q(q≠1)，则

　　a1＋a2＝a1(1＋q)＝8，

　　a3－a1＝a1(q2－1)＝16，

　　两式相除得：1q－1＝12，解得q＝3.

　　又∵a1(1＋q)＝8，∴a1＝2，

　　∴a3＝a1q2＝2×32＝18.

　　4．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝( )

　　A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1

　　C．(－2)n D．－(－2)n

　　解析：选A.∵|a1|＝1，

　　∴a1＝1或a1＝－1.

　　∵a5＝－8a2＝a2q3，

　　∴q3＝－8，∴q＝－2.

　　又a5＞a2，即a2q3＞a2，

　　∴a2＜0.

　　而a2＝a1q＝a1(－2)＜0，

　　∴a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1.

　　5．下列四个命题中正确的是( )

　　A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1

　　B．公比q＜0的等比数列是递减数列

　　C．常数列是公比为1的等比数列

　　D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列

　　解析：选D.A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.

　　6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )

　　A．±4 B．4

　　C．±14 D.14

　　解析：选A.由an＝182n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.

　　二、填空题

　　7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．

　　解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列，

　　∴2x＋2x＝3x＋32x＋2＝32且x≠－1,0.

　　∴2(2x＋2)＝3x，∴x＝－4. X k b 1 . c o m

　　答案：－4

　　8．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________.

　　解析：∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1；

　　∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1.

　　答案：±1 1

　　9．等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________.

　　解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384.

　　两式相比得q7＝128，∴q＝2，∴a1＝34.

　　an＝a1qn－1＝34×2n－1＝32n－3.

　　答案：32n－3

　　三、解答题

　　10．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．

　　证明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，

　　∴an＋1an＝103n＋1＋5103n＋5＝1000＝常数．

　　∴{an}是等比数列．

　　11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．

　　解：设等比数列{an}的.公比为q，

　　则q≠0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，

　　∴2q＋2q＝203.解得q1＝13，q2＝3.

　　当q＝13时，a1＝18，

　　∴an＝18×(13)n－1＝2×33－n.

　　当q＝3时，a1＝29，

　　∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

　　综上，当q＝13时，an＝2×33－n；

　　当q＝3时，an＝2×3n－3.

　　12．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

　　解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，

　　∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.

　　解得a＝－1，或a＝－4.

　　当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，

　　与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．

　　当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，

　　则公比为q＝32，∴ an＝－4(32)n－1，

　　令－4(32)n－1＝－1312，

　　即(32)n－1＝278＝(32)3，

　　∴n－1＝3，即n＝4，

　　∴－1312是这个数列中的第4项．

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