一元二次方程的应用题

2021-06-13 试题

　　一元二次方程的应用题（1）

　　一、增长率问题

　　例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

　　解设这两个月的平均增长率是x。，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

　　即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。

　　答这两个月的平均增长率是10%。

　　说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。

　　二、商品定价

　　例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

　　解根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

　　解这个方程，得a1＝25，a2＝31。

　　因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。

　　所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。

　　答需要进货100件，每件商品应定价25元。

　　说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。

　　三、储蓄问题

　　例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率。（假设不计利息税）

　　解设第一次存款时的年利率为x。

　　则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530。整理，得90x2+145x－3＝0。

　　解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63。由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去。

　　答第一次存款的年利率约是2.04%。

　　说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税。

　　四、趣味问题

　　例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

　　解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m。

　　则根据题意，得 (x+0.1+x+1。4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0。

　　解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1。

　　所以x+1。4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5。

　　答渠道的上口宽2.5m，渠深1m。

　　说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解。

　　五、古诗问题

　　例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）。

　　大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

　　而立之年督东吴，早逝英年两位数；

　　十位恰小个位三，个位平方与寿符；

　　哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

　　解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3。

　　则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6。

　　当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

　　当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意。

　　答周瑜去世的年龄为36岁。

　　说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味。

　　六、象棋比赛

　　例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分。如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985。经核实，有一位同学统计无误。试计算这次比赛共有多少个选手参加。

　　解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n－1)局。由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分。显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）。

　　答参加比赛的选手共有45人。

　　说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解。

　　七、情景对话

　　例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了对话中收费标准。

　　某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元。请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

　　解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游。因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人。

　　则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000。

　　整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30。

　　当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

　　当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意。

　　答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游。

　　说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论。

　　一元二次方程的应用题（2）

　　1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；

　　2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：

　　（1）求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；

　　（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？

　　3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加

　　（1）根据提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为 _______公顷，比2000年底增加了_______公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是 _______ 年；

　　（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．

　　专题：行程问题：

　　1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？

　　2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度

　　3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时。请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的`条件下列车还可以再次提速。

　　专题：经济问题：

　　1、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．

　　2、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

　　3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2。8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0。5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？

　　专题：工程问题：

　　1、为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

　　2、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

　　（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

　　（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

　　3、一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元。

　　（1）甲单独完成需要几天？

　　（2）工程指挥部决定从两个队中？一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？

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