全国数学联赛模拟题
第一试
一、 选择题（每小题6分，共36分）：
a2 x2
1f x 是奇函数的充要条件是
x a a
（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0
2 （A）点A在直线l上 （B）点B在直线l上 （C）点C在直线l上 （C）点A、B、C均不在直线l上 3，过顶点A在空间作直线l，使l与直线AC和BC所成的角1
都等于60°．这样的直线l可以做
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（A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条
100
4n C
200
（A）61 （C）83 （B）67 （D）97
5y f x
x 大值等于 （A）3 （B）4 （C）7 （D）8
6再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，第2003个数是 （A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006
二、 填空题（每小题9分，共54分）：
＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N
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2015全国数学联赛模拟题
＝
1
，m∈M}．则集合P所有元素之和等于 m2
．
4
x2 2a2 2x a2 4a 7
0 222
x a 4a 5x a 4a 7
的解集是一些区间的.并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是 ．
计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．
2＋by2＝1在圆x2＋y2
的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围
是 ．
6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则tan( ＋ )的值是 ．
三、 （20分）
△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件 （i）a、b、c均为整数；
（ii）a、b、c依次成等比数列； （iii）a与c中至少有一个等于100．
求出(a,b,c)的所有可能的解．
四、 （20分）
在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．
五、 （20分）
设正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．证明： （1） max{a,b,c}≥
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