高一上册数学第三章单元测试题
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知x，y为正实数，则()
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx2lgy
C.2lgxlgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx2lgy
解析 取特殊值即可.如取x=10，y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x+y)=2lg11,2lgxlgy=1.
答案 D
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，a1)的反函数且f(2)=1，则f(x)=()
A.12x B.2x-2
C.log12 x D.log2x
解析 由题意知f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，
a=2，f(x)=log2x.
答案 D
3.已知f(x)=log3x，则函数y=f(x+1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()
A.2与1 B.3与1
C.9与3 D.8与3
解析 由f(x)=log3x，知f(x+1)=log3(x+1)，
又28，39.
故1log3(x+1)2.
答案 A
4.下列说法正确的是()
A.log0.56log0.54 B.90.9270.48
C.2.50122.5 D.0.60.5log0.60.5
解析 ∵90.9=32.7,270.48=31.44，又y=3x在(-，+)上单调递增，32.731.44.
答案 B
5.设函数f(x)=logax(a0，a1).若f(x1x2x2014)=8，则f(x21)+f(x22)++f(x22014)的值等于()
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
解析 f(x21)+f(x22)++f(x22014)
=logax21+logax22++logax22014
=loga(x1x2x2014)2
=2loga(x1x2x2014)=28=16.
答案 C
6.(log43+log83)(log32+log98)等于()
A.56 B.2512
C.94 D.以上都不对
解析 (log43+log83)(log32+log98)
=12log23+13log23log32+32log32
=2512.
答案 B
7.若f(x)=log2x的值域为[-1,1]，则函数f(x)的定义域为()
A.12，1 B.[1,2]
C.12，2 D.22，2
解析 由-1log2x1，得122.
答案 C
8.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=()
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x+1 D.e-x-1
解析 与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为y=e-x，函数y=e-x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图像，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
答案 D
9.若f(x)=2x+2-xlga是奇函数，则实数a=()
A.13 B.14
C.12 D.110
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数，
f(0)=0，20+20lg a=0，
lg a=-1，a=110.
答案 D
10.某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()
A.y=0.2x B.y=110(x2+2x)
C.y=2x10 D.y=0.2+log16x
解析 逐个检验.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分.将答案填在题中横线上.)
11.函数y=ax-2+1(a0，且a1)的图像必经过点________.
答案 (2,2)
12.函数y=lg4-xx-3的定义域是________.
解析 由4-x0，x-30，得x4，x3，
定义域为{x|x3或3
答案 {x|x3或3
13.函数f(x)=x2+12 x0，ex-1 x0，若f(1)+f(a)=2，则a=________.
答案 1或-22
14.y=log0.3(x2-2x)的单调减区间为________.
解析 写单调区间注意函数的定义域.
答案 (2，+)
15.若函数f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1为R上的增函数，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意得a1，4-a20，a4-a2+2，得48.
答案 [4,8)
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(12分)计算下列各式
(1)(lg2)2+lg2lg50+lg25;
(2)2790.5+21027 13 -2
(3)(lg5)2+lg2lg5+lg20-4-426125+21+ 12 log25.
解 (1)(lg2)2+lg2lg50+lg25
=(lg2)2+lg2(lg2+2lg5)+2lg5
=2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5
=2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2.
(2)原式=259 12 +6427 13 -2
=53+43-2=3-2=1.
(3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-25+25
=lg5+lg2+1=2.
17.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a0，a1，设h(x)=f(x)-g(x).
(1)判断h(x)的奇偶性，并说明理由;
(2)若f(3)=2，求使h(x)0成立的x的集合.
解 (1)依题意，得1+x0，1-x0，解得-1
函数h(x)的定义域为(-1,1).
∵对任意的x(-1,1)，-x(-1,1)，
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x)，
h(x)是奇函数.
(2)由f(3)=2，得a=2.
此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，
由h(x)0，即log2(1+x)-log2(1-x)0，
得log2(1+x)log2(1-x).
则1+x0，解得0
故使h(x)0成立的x的集合是{x|0
18.(12分)已知0
解 由题意得16a2，6a22-22+30，得a112，a124，
得124
故a的取值范围是124
19.(12分)已知f(x)=loglog14xx2-log14 x+5，A={x|2x2-6x+81}，当xA时，求f(x)的最值.
解 由2x2-6x+81
由二次函数y=x2-6x+8的图像可知24.
设log14 x=t，∵24，
-1log14 x-12，即-1-12.
f(x)=t2-t+5对称轴为t=12，
f(x)=t2-t+5在-1，-12单调递减，
故f(x)max=1+1+5=7，
f(x)min=-122+12+5=234.
综上得f(x)的'最小值为234，最大值为7.
20.(13分)已知函数f(x)=ax+k(a0，且a1)的图像过(-1,1)点，其反函数f-1(x)的图像过点(8,2).
(1)求a，k的值;
(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y=g(x)的图像，写出y=g(x)的解析式;
(3)若g(x)3m-1在[2，+)恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由题意得a-1+k=1，a2+k=8. 解得a=2，k=1.
(2)由(1)知f(x)=2x+1，得
f-1(x)=log2x-1，将f-1(x)的图像向左平移2个单位，得到y=log2(x+2)-1，再向上平移到1个单位，得到y=g(x)=log2(x+2).
(3)由g(x)3m-1在[2，+)恒成立，
只需g(x)min3m-1即可.
而g(x)min=log2(2+2)=2，
即23m-1，得m1.
21.(14分)有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-xx6，x-4.4x-4x6.)描述学习某科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN+)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
(1)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科知识4次时，掌握程度为70%，请确定相应的学科;
(2)证明：当x7时，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.(参考数据e0.04=1.04)
解 (1)由题意可知0.1+15lnaa-4=0.70，整理得aa-4=e0.04，得a=104(100,106]，由此可知，该学科是甲学科.
(2)证明：当x7时，f(x+1)-f(x)=0.4x-3x-4，
而当x7时，函数y=(x-3)(x-4)单调递增;
且(x-3)(x-4)0.
故f(x+1)-f(x)单调递减，
当x7时，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.
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