高一上册数学第三章单元测试题

2021-06-10 试题

  高一上册数学第三章单元测试题

  一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

  1.已知x,y为正实数,则()

  A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx2lgy

  C.2lgxlgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx2lgy

  解析 取特殊值即可.如取x=10,y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x+y)=2lg11,2lgxlgy=1.

  答案 D

  2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,a1)的反函数且f(2)=1,则f(x)=()

  A.12x B.2x-2

  C.log12 x D.log2x

  解析 由题意知f(x)=logax,∵f(2)=1,loga2=1,

  a=2,f(x)=log2x.

  答案 D

  3.已知f(x)=log3x,则函数y=f(x+1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()

  A.2与1 B.3与1

  C.9与3 D.8与3

  解析 由f(x)=log3x,知f(x+1)=log3(x+1),

  又28,39.

  故1log3(x+1)2.

  答案 A

  4.下列说法正确的是()

  A.log0.56log0.54 B.90.9270.48

  C.2.50122.5 D.0.60.5log0.60.5

  解析 ∵90.9=32.7,270.48=31.44,又y=3x在(-,+)上单调递增,32.731.44.

  答案 B

  5.设函数f(x)=logax(a0,a1).若f(x1x2x2014)=8,则f(x21)+f(x22)++f(x22014)的值等于()

  A.4 B.8

  C.16 D.2loga8

  解析 f(x21)+f(x22)++f(x22014)

  =logax21+logax22++logax22014

  =loga(x1x2x2014)2

  =2loga(x1x2x2014)=28=16.

  答案 C

  6.(log43+log83)(log32+log98)等于()

  A.56 B.2512

  C.94 D.以上都不对

  解析 (log43+log83)(log32+log98)

  =12log23+13log23log32+32log32

  =2512.

  答案 B

  7.若f(x)=log2x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域为()

  A.12,1 B.[1,2]

  C.12,2 D.22,2

  解析 由-1log2x1,得122.

  答案 C

  8.函数f(x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()

  A.ex+1 B.ex-1

  C.e-x+1 D.e-x-1

  解析 与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图像,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

  答案 D

  9.若f(x)=2x+2-xlga是奇函数,则实数a=()

  A.13 B.14

  C.12 D.110

  解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数,

  f(0)=0,20+20lg a=0,

  lg a=-1,a=110.

  答案 D

  10.某地区植被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷,0.4 万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()

  A.y=0.2x B.y=110(x2+2x)

  C.y=2x10 D.y=0.2+log16x

  解析 逐个检验.

  答案 C

  二、填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分.将答案填在题中横线上.)

  11.函数y=ax-2+1(a0,且a1)的图像必经过点________.

  答案 (2,2)

  12.函数y=lg4-xx-3的定义域是________.

  解析 由4-x0,x-30,得x4,x3,

  定义域为{x|x3或3

  答案 {x|x3或3

  13.函数f(x)=x2+12 x0,ex-1 x0,若f(1)+f(a)=2,则a=________.

  答案 1或-22

  14.y=log0.3(x2-2x)的单调减区间为________.

  解析 写单调区间注意函数的定义域.

  答案 (2,+)

  15.若函数f(x)=ax,x1,4-a2x+2,x1为R上的增函数,则实数a的取值范围是________.

  解析 由题意得a1,4-a20,a4-a2+2,得48.

  答案 [4,8)

  三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

  16.(12分)计算下列各式

  (1)(lg2)2+lg2lg50+lg25;

  (2)2790.5+21027 13 -2

  (3)(lg5)2+lg2lg5+lg20-4-426125+21+ 12 log25.

  解 (1)(lg2)2+lg2lg50+lg25

  =(lg2)2+lg2(lg2+2lg5)+2lg5

  =2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5

  =2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2.

  (2)原式=259 12 +6427 13 -2

  =53+43-2=3-2=1.

  (3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-25+25

  =lg5+lg2+1=2.

  17.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中a0,a1,设h(x)=f(x)-g(x).

  (1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;

  (2)若f(3)=2,求使h(x)0成立的x的集合.

  解 (1)依题意,得1+x0,1-x0,解得-1

  函数h(x)的定义域为(-1,1).

  ∵对任意的x(-1,1),-x(-1,1),

  h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x),

  h(x)是奇函数.

  (2)由f(3)=2,得a=2.

  此时h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),

  由h(x)0,即log2(1+x)-log2(1-x)0,

  得log2(1+x)log2(1-x).

  则1+x0,解得0

  故使h(x)0成立的x的集合是{x|0

  18.(12分)已知0

  解 由题意得16a2,6a22-22+30,得a112,a124,

  得124

  故a的取值范围是124

  19.(12分)已知f(x)=loglog14xx2-log14 x+5,A={x|2x2-6x+81},当xA时,求f(x)的最值.

  解 由2x2-6x+81

  由二次函数y=x2-6x+8的图像可知24.

  设log14 x=t,∵24,

  -1log14 x-12,即-1-12.

  f(x)=t2-t+5对称轴为t=12,

  f(x)=t2-t+5在-1,-12单调递减,

  故f(x)max=1+1+5=7,

  f(x)min=-122+12+5=234.

  综上得f(x)的'最小值为234,最大值为7.

  20.(13分)已知函数f(x)=ax+k(a0,且a1)的图像过(-1,1)点,其反函数f-1(x)的图像过点(8,2).

  (1)求a,k的值;

  (2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,就得到函数y=g(x)的图像,写出y=g(x)的解析式;

  (3)若g(x)3m-1在[2,+)恒成立,求实数m的取值范围.

  解 (1)由题意得a-1+k=1,a2+k=8. 解得a=2,k=1.

  (2)由(1)知f(x)=2x+1,得

  f-1(x)=log2x-1,将f-1(x)的图像向左平移2个单位,得到y=log2(x+2)-1,再向上平移到1个单位,得到y=g(x)=log2(x+2).

  (3)由g(x)3m-1在[2,+)恒成立,

  只需g(x)min3m-1即可.

  而g(x)min=log2(2+2)=2,

  即23m-1,得m1.

  21.(14分)有时可用函数f(x)=0.1+15lnaa-xx6,x-4.4x-4x6.)描述学习某科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN+),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.

  (1)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(100,106],(106,112],(112,123],当学习某学科知识4次时,掌握程度为70%,请确定相应的学科;

  (2)证明:当x7时,掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.(参考数据e0.04=1.04)

  解 (1)由题意可知0.1+15lnaa-4=0.70,整理得aa-4=e0.04,得a=104(100,106],由此可知,该学科是甲学科.

  (2)证明:当x7时,f(x+1)-f(x)=0.4x-3x-4,

  而当x7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增;

  且(x-3)(x-4)0.

  故f(x+1)-f(x)单调递减,

  当x7时,掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)总是下降.

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