函数的极值与导数的测试题及答案

2021-06-10 试题

  一、选择题

  1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是()

  A.导数为零的点一定是极值点

  B.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值

  C.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值

  D.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值

  [答案] C

  [解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知C正确,故应选C.

  2.函数y=1+3x-x3有()

  A.极小值-2,极大值2

  B.极小值-2,极大值3

  C.极小值-1,极大值1

  D.极小值-1,极大值3

  [答案] D

  [解析] y=3-3x2=3(1-x)(1+x)

  令y=0,解得x1=-1,x2=1

  当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,

  当-11时,y0,函数y=1+3x-x3是增函数,

  当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,

  当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.

  当x=1时,函数有极大值,y极大=3.

  3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是()

  A.必有f(x0)=0

  B.f(x0)不存在

  C.f(x0)=0或f(x0)不存在

  D.f(x0)存在但可能不为0

  [答案] C

  [解析] 如:y=|x|,在x=0时取得极小值,但f(0)不存在.

  4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()

  A.充分不必要条件

  B.必要不充分条件

  C.充要条件

  D.既不充分也不必要条件

  [答案] C

  [解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.

  5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:

  ①f(x)是增函数,无极值;

  ②f(x)是减函数,无极值;

  ③f(x)的递增区间为(-,0),(2,+),递减区间为(0,2);

  ④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.

  其中正确的命题有()

  A.1个 B.2个

  C.3个 D.4个

  [答案] B

  [解析] f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)0,得x2或x0,令f(x)0,得02,①②错误.

  6.函数f(x)=x+1x的极值情况是()

  A.当x=1时,极小值为2,但无极大值

  B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值

  C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2

  D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2

  [答案] D

  [解析] f(x)=1-1x2,令f(x)=0,得x=1,

  函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,

  当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.

  7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()

  A.1个 B.2个

  C.3个 D.4个

  [答案] A

  [解析] 由f(x)的.图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.

  8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()

  A.有极小值

  B.有极大值

  C.既有极大值又有极小值

  D.无极值

  [答案] D

  [解析] ∵y=1-11+x2(x2+1)

  =1-2xx2+1=(x-1)2x2+1

  令y=0得x=1,当x1时,y0,

  当x1时,y0,

  函数无极值,故应选D.

  9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是()

  A.极大值为427,极小值为0

  B.极大值为0,极小值为427

  C.极大值为0,极小值为-427

  D.极大值为-427,极小值为0

  [答案] A

  [解析] 由题意得,f(1)=0,p+q=1①

  f(1)=0,2p+q=3②

  由①②得p=2,q=-1.

  f(x)=x3-2x2+x,f(x)=3x2-4x+1

  =(3x-1)(x-1),

  令f(x)=0,得x=13或x=1,极大值f13=427,极小值f(1)=0.

  10.下列函数中,x=0是极值点的是()

  A.y=-x3 B.y=cos2x

  C.y=tanx-x D.y=1x

  [答案] B

  [解析] y=cos2x=1+cos2x2,y=-sin2x,

  x=0是y=0的根且在x=0附近,y左正右负,

  x=0是函数的极大值点.

  二、填空题

  11.函数y=2xx2+1的极大值为______,极小值为______.

  [答案] 1-1

  [解析] y=2(1+x)(1-x)(x2+1)2,

  令y0得-11,令y0得x1或x-1,

  当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.

  12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________.

  [答案] a+42 a-42

  [解析] y=3x2-6=3(x+2)(x-2),

  令y0,得x2或x-2,

  令y0,得-22,

  当x=-2时取极大值a+42,

  当x=2时取极小值a-42.

  13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=________.

  [答案] -3-9

  [解析] y=3x2+2ax+b,方程y=0有根-1及3,由韦达定理应有

  14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.

  [答案] (-2,2)

  [解析] 令f(x)=3x2-3=0得x=1,

  可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,

  y=f(x)的大致图象如图

  观察图象得-22时恰有三个不同的公共点.

  三、解答题

  15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.

  (1)写出函数f(x)的递减区间;

  (2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.

  [解析] f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),

  令f(x)=0,得x1=-1,x2=3.

  x变化时,f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:

  x (-,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+)

  f(x) + 0 - 0 +

  f(x) 增 极大值

  f(-1) 减 极小值

  f(3) 增

  (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);

  (2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.

  16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a、b、c的值,并求出相应的极值.

  [解析] f(x)=3ax2+2bx+c.

  ∵x=1是函数的极值点,-1、1是方程f(x)=0的根,即有

  又f(1)=-1,则有a+b+c=-1,

  此时函数的表达式为f(x)=12x3-32x.

  f(x)=32x2-32.

  令f(x)=0,得x=1.

  当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:

  x (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+)

  f(x) + 0 - 0 +

  f(x) ? 极大

  值1 ? 极小

  值-1 ?

  由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值1;当x=1时,函数有极小值-1.

  17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.

  (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;

  (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.

  [解析] (1)f(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

  f(1)=f(-1)=0,即

  解得a=1,b=0.

  f(x)=x3-3x,

  f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

  令f(x)=0,得x1=-1,x2=1.

  若x(-,-1)(1,+),则f(x)>0,故

  f(x)在(-,-1)上是增函数,

  f(x)在(1,+)上是增函数.

  若x(-1,1),则f(x)<0,故

  f(x)在(-1,1)上是减函数.

  f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.

  (2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.

  设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x30-3x0.

  ∵f(x0)=3(x20-1),故切线的方程为

  y-y0=3(x20-1)(x-x0).

  注意到点A(0,16)在切线上,有

  16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).

  化简得x30=-8,解得x0=-2.

  切点为M(-2,-2),

  切线方程为9x-y+16=0.

  18.(2010北京文,18)设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

  (1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;

  (2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.

  [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用.

  由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f(x)=ax2+2bx+c

  ∵f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.

  (1)当a=3时,由(*)式得 ,

  解得b=-3,c=12.

  又∵曲线y=f(x)过原点,d=0.

  故f(x)=x3-3x2+12x.

  (2)由于a0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”

  由(*)式得2b=9-5a,c=4a.

  又∵=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

  解 得a[1,9],

  即a的取值范围[1,9].

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