质数合数问题的奥数试题及答案

2022-09-24 试题

　　今有10个质数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103.如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组的五个数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数应是( ).

　　考点：质数与合数问题.

　　分析：可以先求出这10个质数的和是多少，根据已知条件，把这10个质数分成两组，即可求出每组5个质数的和，然后在分析每组数各有哪几种情况，由此解答即可.

　　解答：这10个质数之和是598，分成两组后，每组五个数之和是598÷2=299.

　　质数合数问题奥数试题及答案：在有79这组数中，其他四个质数之和是299-79=220，个位数是0，因此这四个质数的个位数可能有三种情形：

　　(1)三个1和一个7;

　　(2)二个3和二个7;

　　(3)三个3和一个1.

　　31+41+101=173，220-173=47，可这十个数中没有47，情形(1)被否定.

　　17+67=84，220-84=136，个位数为3有23，53，83，只有53+83=136，因此从情形(2)得到一种分组：17，53，67，79，83和23，31，41，101，103.

　　所以，含有101这组数中，从小到大排列第二个数是31.

　　[注]从题目本身的要求来说，只要找出一种分组就可以了，但从情形(3)还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262，262-220=42，我们能否从53，83，103中找出一个数，用比它少42的数来代替呢?

　　53-42=11，83-42=41，103-42=61.这十个数中没有11和61，只有41.又得到另一种分组：

　　23，41，53，79，103和17，31，67，83，101.

　　由此可见，不论哪一种分组，含101这组数中，从小到大排列，第二个数都是31.

　　点评：此题的解答思路要开阔，考虑要周全，分析所包含的各种情况，提高分析解决问题的能力.

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