函数的奇偶性与周期性复习试题

2021-03-27 试题

　　10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)，当x∈时，f(x)=2x-x2.

　　(1)求证：f(x)是周期函数;

　　(2)当x∈时，求f(x)的.解析式;

　　(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).

　　(1)证明∵f(x+2)=-f(x)，

　　∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

　　∴f(x)是周期为4的周期函数.

　　(2)解∵x∈，∴-x∈，

　　∴4-x∈，

　　∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8，

　　又f(4-x)=f(-x)=-f(x)，

　　∴-f(x)=-x2+6x-8，

　　即f(x)=x2-6x+8，x∈.

　　(3)解∵f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1.

　　又f(x)是周期为4的周期函数，

　　∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.

　　∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)

　　=f(0)=0.

　　15.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

　　(1)求f(1)的值;

　　(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;

　　(3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

　　解(1)∵对于任意x1，x2∈D，

　　有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，

　　∴令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.

　　(2)f(x)为偶函数.

　　证明：令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f (-1)，

　　∴f(-1)=2(1)f(1)=0.

　　令x1=-1，x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x)，

　　∴f(-x)=f(x)，

　　∴f(x)为偶函数.

　　(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2，

　　由(2)知，f(x)是偶函数，

　　∴f(x-1)<2?f(|x-1|)

　　又f(x)在(0，+∞)上是增函数.

　　∴0<|x-1|<16，

　　解之得-15

　　∴x的取值范围是{x|-15

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