摘要:几何是中学数学课程中不可或缺的重要内容,我国义务教育新课程标准强调要在数学活动中学习几何,即“做数学”,十分注重探索图形性质的过程。这篇文章以van Hiele思维层次理论为依据,阐述了初中学生学习几何的思维发展过程,提出了一些促进学生入门、提升学生几何思维发展的教学策略和手段,并附上了一节几何课的教学设计样例。
关键词:van Hiele思维层次;几何;五步教学法
在小学里,学生主要依靠直觉思维来解决有关图形的问题,进入中学后,学生开始正式的几何学习,初步接触到几何逻辑证明时,往往感到困难。这其中的原因并不绝对是学生的“懒惰”或者先天智商不高,而是学生的思维发展是一个循序渐进的过程,如果学生陡然遇到超过他们的思维理解能力的教学内容,那么他们会无法跟上。这就需要教师研究中学生的几何思维发展过程,针对学生的具体水平设计适当的教学,引导学生一步步经历和完成各阶段的学习,从而逐渐提高学生的思维水平。
一、Van Hiele几何思维层次
1957年,荷兰数学教育学家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了几何思维层次理论(Van Hiele levels)。他们将学生的几何思维发展分为逐级升高的五个层次:
层次1:视觉期(Visual)。学生仅凭视觉整体印象来辨认基本图形,直接将概念链接到门、篮球等具体模型;
层次2:描述期(Analysis)。学生能依据操作经验认识到图形的性质,但不理解性质之间的关系,不能区别充分和必要条件,也不能将图形分类;
层次3:关系期(Abstract/Informal Deduction)。学生接受并能使用定义,能认识图形之间和性质之间的逻辑关系,能作一些简单的非正式的推理,但不能形式化地区别命题和逆命题;
层次4:推理期(Deduction)。学生不再死记硬背,确信必须经过正式的逻辑推理才能建立定理,能建构证明过程;
层次5:公理期(Rigor)。学生能够理解几何体系及抽象性,能够在不同的公理系统下严谨地建立定理并且分析、比较这些系统。
Van Hiele认为:各层次的发展是循序渐进的,若要成功发展某一特定层次,必须先具备前一层次的概念和思维策略;思维层次的进步更依赖于教学,而非年龄的增长;没有一种教学法能让学生跳过某一层次而直接达到下一层次;某一层次的讨论对象可变成下一层次的研究对象;每一层次都有自己独特的语言符号及关系系统,同样的名词在不同层次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教学必须配合学生的思维层次。
显然,刚从小学升入初中的学生的思维层次大多是层次1或2,这时数学教师的任务是促进学生“入门”,使学生经历能提升其几何思维层次的教学,做好两个学段几何学习的衔接。
二、促进初中生几何思维发展的教学策略
以讲授和记忆为主的、对学生的学习要求一刀切的教学不能导致有效的学习,经验、操作、讨论和反思才能帮助学生发展思维层次。具体地说:
1.教师应评估学生的几何思维水平,给思维层次不同的学生安排不同的学习任务和学习角色,使学生接受适合自身经验的学习任务,并互相促进。新课程标准明确指出“教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要。教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化,尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平”。所以对于基础很弱的学生,应该从层次1起步。如果教师盲目地将不契合学生的思维水平的学习内容提供给学生,就会造成学生听不懂,继而死记硬背,最后丧失学习兴趣的后果。
2.教师应给学生提供探索和运用的机会,让学生获得在每一阶段应有的学习经验,发展对概念和性质的理解,从而逐级提高思维层次。在学习几何概念时,应该让学生经历认识图形,再分析图形的特征,再发现图形之间的关系,最后作简单的推理证明这样一个循序渐进的过程。例如在学习矩形时,先由学生作图,说明该图形是矩形的理由,归纳矩形的定义,通过测量发现性质,明确矩形也是平行四边形的一种,再反过来,用几何画板工具提供一个普通的凸四边形和一个平行四边形给学生,让他们拖动鼠标,分别找出四边形和平行四边形成为矩形应具备的条件。
3.教师应该给学生提供适当的机会进行讨论。在几何学习中,语言起十分重要的作用,学生通过说、听和读来明晰和发现自己的观点,从而获得知识,所以应提供动态的教室学习环境和适合学生积极参与、讨论、描述、示范的问题情境,使学生交谈,分享发现,质疑,确认,形成书面表达。每一个层次都有自己的语言风格和解释方式,对于层次1的学生要鼓励他们用非正式语言分类、列举和辨析,对于层次2的学生要通过问题和活动引导他们发现关系,总结定义,对于层次3的学生要鼓励他们口头解决问题并说出推理依据。
三、“五步教学法”促进初中生几何思维层次发展
Van Hieles夫妇推荐在特定的几何概念学习中使用五步教学法来提升学生的.思维水平:
1.学前咨询(Information):在教学之前,教师通过观察与发问,了解学生已具备哪些知识,以作为教学准备与参考。在对话中及时引入主题、学习目标,提出问题。重点:双向沟通。
2.引导学习方向(Guided orientation):教师布置简短的任务(问题或作业),使学生探究所要研究的领域,并了解研究的进一步方向。这些任务大都要求学生在教师的引导下,使用排列、组合、积木、折纸、画图等操作方式进行探索。例如:让学生沿对角线折叠菱形,然后问他们有什么发现。在这种有计划的引导过程中,主题所包含的概念、性质和关系逐渐变得明确。重点:任务操作。
3.整合(Integration):使学生总结所学的几何概念、知识点和方法,形成知识网络,并在作业和其他任务中进一步理解和运用,在此过程中,学生也获得了相关解决问题的方法的经验。重点:总结,再运用。
例如:人教版七年级上学期“第四章4.2线段,射线,直线”中的概念教学设计:
A.导入新课(双向沟通)
提出问题:生活中,你见过线段、射线、直线吗?(学前咨询)
(由学生列举,教师板书,但不急于指明是否准确)(留下疑问)
指明学习目标(使学生明确学习目标)
1.理解和区别线段、射线、直线的概念;
2.会用符号表示线段、射线、直线;
3.理解公理“经过两点有且只有一条直线”。
指明学习方法:(使学生作好学习准备)
作图、讨论(希望同学们踊跃发言,提出观点和看法)
B.新课探索(任务操作)
1.请你在纸上用直尺和铅笔分别作出你心目中的线段、射线、直线;强化视觉然后向你的同伴解释一下哪个是线段,哪个是直线,哪个是射线。并且告诉他你根据什么来区分三者?(描述,解释)
2.找一对同伴到黑板作图和解释根据什么区分三者。(分享,表达)
C.学习新课(口头表达、书面表达)
(一)认识线段、射线、直线(解说)
1.线段:图形,表示方法,实例,特点。
2.射线:图形,表示方法,实例,特点。
3.直线:图形,表示方法,实例,特点。
请你想一想:生活中,还有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?
(发散思维)
请回头查一查:课前提出的几个生活中的实例是否符合这些定义?(现实生活中严格意义的直线较难看到)(收敛思维)
用表格归纳三者之间的联系及表达方式。(由学生填)(归纳,用图表强化记忆)
观察表格,说说有哪些值得注意的地方?(由学生说)(学习使用规范的语言)
(写清线的名称;直线与线段的表示方法基本相同;射线的端点必须写在前面)
D.自由探索(运用)
1.作图练习(自由探索,累积经验)
(1)作直线MN,在直线MN上任取一点C;这样的点可以取多少个?
(理解直线上有无数个点)
(2)作线段AB,先延长AB,再延长BA;线段AB与直线AB是什么关系?
(理解线段是直线的一部分)
(3)作线段CD,再反向延长线段CD;线段CD与射线DC是什么关系?(理解线段与射线的关系)
(4)作射线OK,再反向延长射线OK。射线OK与直线OK是什么关系?(理解射线是直线的一部分)
板书:线段,射线都是直线的一部分。(整合“关系”)
2.作图说话(再运用)
(1)作直线MN,在直线MN上任取两点A,B,你在图中找到了几条线段?
(因为线段无方向,所以线段AB就是线段BA)
(2)作直线MN,在直线MN上任取三点A,B,C,你在图中找到了几条线段?
(端点不同,线段不同)
(3)在直线MN上任取四点A,B,C,D,你又在图中找到了几条线段?
(4)顺着这个思路,你能给大家出下一问吗?
(在直线MN上任取n个点,你能找到几条线段?)
E.小结:线段、射线、直线的概念。(整合)
F.作业:课本132页第4题。(再运用)
这个教学设计将一个主题的学习过程分成“操作,观察,表达,辨析,归纳”五个流程,充分调动学生的视觉、语言表达能力,在操作、观察、表达和交流活动中来体会、感受概念之间的关系。
van Hiele思维层次或许仍有争议或者有其不完善的方面,但是其提倡从学生的视觉、语言表达、动手操作、探索概念间的关系、整合等多角度来完成几何教学,使学生逐步形成概念网络,养成“说理有据”的态度和勇于交流讨论的精神,体会到探索几何概念和性质的乐趣,这对刚入门学生几何学习的教学指导意义是不言而喻的,希望这篇论文所提出的建议能给数学教师以参考,使几何教学更加有趣、有效。
