一、请先欣赏一个教学片段
最近听了一年级《7的认识》一课,执教的焉老师令人钦佩,她让六、七岁的孩子都能体验看似艰深的抽象思想:
(观察、操作)“请大家数数这几排图片里各有几件东西。”“都是7个!”-→(分析、比较相异特征)“这几排东西有哪些地方不同呀?”“名字不同,颜色不同,用处不同……” -→(抽取共同特征)“又有哪些地方相同呢?”“多少相同,数量相同,每排都是7个。”-→(舍弃非本质的相异特征,将共同的数量特征抽象为点)“现在我们只管它们的数量,不管别的,每件东西都只用一个圆点表示(图示7个圆点组成的集合),数数有几个点就知道是7个了。”-→(再将点数抽象为符号性的数)“还可以更简便地用数字7来表示这个数量(出示数字7)”。
课后我问焉老师为什么这样教,她说:“让学生先把实物抽象成圆点,再把圆点的数量抽象成数字7,好让他们体验抽象思想。”
这样教真好,符合新版课标强调“基本思想”的要求——即使对一年级小学生,也努力让他们体验数学基本思想之一的“抽象思想”!
但以前我们常常只把“抽象”看成形容词,比如抱怨说“数学太抽象了”,现在则要把它看成动词——抽象是一种思维活动,抽象思想就是展开这种思维活动的态度与方法。
二、“抽象”并不难,处处都在用
何为“抽象”?课标没做解释,百度的解释是:“抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征,而舍弃其非本质的特征。”
别担心“抽象”很难——其实从生下来开始,我们早就处处在用它了!
语言:连幼儿都会说的话或写的字都是抽象的——他说的或写的“苹果”只是声音符号或线条符号,并不是能吃的真苹果。
日常生活:连孩子都能依据抽象的“白菜标准”来判断“那是白菜”:菜儿们体积多大、有几片叶子、含有多少营养成分、种它的农民累不累等“非本质特征”都舍弃了,只抽取形状、颜色等所有白菜的“共同本质特征”来衡量。
日常工作:你担心自己一个人忙不过来,领导说“去找别人帮忙嘛”,那你就会根据“能人”的抽象标准找到——健康、能干、工作态度好即可,而不必考虑他是男是女、漂不漂亮、有钱没钱等等。
自然科学学习(以物理为例):初中所学的直线匀速运动其实是抽象的,只把运动物体假设为一个质点且只考虑其运动方向和速度都不变的共同特征,而不考虑它们形状、体积、材质等等非本质特征。
社会科学学习(以历史为例):高中学习抗日战争胜利的经验,只需考虑影响战争胜负的政治、经济、军事、外交等本质性因素,至于中国人和日本人怎样吃饭、怎样恋爱结婚、怎样唱歌跳舞之类非本质因素基本不予考虑。
哲学思考(以教育哲学为例):哲学思考要用的概念都是极抽象的思维产品,我们所思考的“教育”是所有的人或机构所进行的培养人活动,而不是“哪个具体的人或哪所具体的学校所进行的具体教育”。
那么数学里的抽象有哪些特点呢?
三、课标对“数学抽象”的说明
课标说:“数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具”。我体会这句话的意思是:数学进行抽象的对象是“客观现象”,抽象的产物则是“数学的语言和工具”。
但究竟是从怎样的“客观现象”中“抽象概括”出怎样的“科学语言和工具”呢?课标只离散、模糊地提到5种情形:“从日常生活中抽象出数”,“从具体情境中抽象出数学符号”,“经历……代数的抽象”,“根据物体特征抽象出几何图形”,“从实际背景中抽象出数学问题”。
虽然不能用专着标准来要求课标,但它毕竟不能满足我们深入了解“数学抽象”的需要,至少:第一,何为“日常生活”、“具体情境”、“实际背景”?第二,数学课程三大内容中,数与代数、图形与几何说到了,统计与概率呢?第三,“代数的抽象”——对什么进行抽象?得到的是什么?第四,数学符号那么多,笼统一说就够了吗?
所以,下一段我将试着简要做些分析。
四、我理解的数学抽象
1、一般抽象的对象与产物有两种:
皮亚杰说:“经验具有两种不同的形式:物理的经验和逻辑-数理的经验,……物理的经验包括对于对象采取行动并通过对于这些对象进行抽绎(按:即“抽象加演绎”),而发现对象的特性:……逻辑-数理的经验……也是对于对象采取行动,但是这种发现这些对象特性的抽象过程并不是指向对象本身而是指向影响这些对象的行动:……”(《教育科学与儿童心理学》,皮亚杰着,傅统先译,文化教育出版社1981年11月版第40页)
解释一下:“物理的经验”指操作自身之外事物所获得的经验,此时抽象的对象是这些外在事物,产物则是这些外在事物的特性,如生活体验得知苹果的味道、物理学习得知某物体的质量、化学学习得知某物质是否易燃、生物学习得知某植物能活多久等等(可称为“陈述性知识”)。“逻辑-数理的经验”指反思自己对外在事物的操作活动所获得的经验,此时抽象的对象是自己的操作活动即“行动”,而产物则应该是“行为方式”——肢体操作方法、工具运用方法、思维方法、问题解决方法等(即我们常说的“方法知识”、“程序性知识”)。
2、数学抽象的对象与产物因此有三种,且第二种更重要:
(1)物理的经验:数、式、数量关系结构、几何概念、几何图形、概率等等属于物理的经验,它抽象的对象是外在事物,产物是该事物的数量特性或形状特性。表示可变数量的字母符号、表示相等与不等的符号、数字与符号组成的代数式或函数式等也属此类。
(2)逻辑-数理的经验:表示运算(逻辑推理也是一种运算)的符号(+、-、×、÷、√、∈、∪、∩、f(x)、sin、㏒、∑、∏、dy/dx、∫、∵、∴、=>等)、算法算律、数学方法、数学思想等等则属于逻辑-数理的经验,它抽象的对象是思考者自己的行动(用手算、用心算、用工具算等等),产物是相关的行为方式(方法)。
(3)混合经验:如公理和定理就是上述两种的混合。公理“过直线外一点有且只有一条直线与其平行”,既概括了大量的事实真相,又是一种推理方法;定理“两三角形如有两组对角分别相等则它们相似”的情形也相同。
哪一种更重要——第二种:用皮亚杰的话说是“思想的影像方面(按:指物理经验)总是从属于思想的运算方面(按:指逻辑-数理经验)的”(同前书第37页),用加德纳多元智能理论来说第二种是重要的“数理逻辑智能”,而新课标则高度重视数学思想方法教育。
五、对搞好抽象思想教育的建议
1、关键是我们自己要重视抽象思想的教育,这样才能落实课标要求。
2、抽象思想的运用很多,绝不限于“数的认识”,要善于抓住各种机会主动开展抽象思想教育。
3、数学抽象不是一蹴而就而是有个过程的:对一组事物中的每一个分析出各自的众多特征-→比较这些特征,确定哪些是不同的、哪些是相同的-→把相同的那些特征概括起来,予以命名,从而得出抽象概念。
4、所以,要象课标说的那样,既“要重视直观”,又要“处理好直观与抽象的关系”——从直观出发、不满足于直观、积极抽象出概念。
5、如课标所说,“组织学生开展实验、操作、尝试等活动,引导学生进行观察、分析,抽象概括”,即深刻经历和体验抽象过程。
6、要重视数学符号的教育价值,正如课标所说:“注重发展学生的数感、符号意识……能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。”
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