摘要：数学反思性教学的特征有：反身性、回顾性、内省性、深究性和反诘性．数学反思性教学的本质就是教师从学生已有数学知识进行“反思”，产生新的数学问题，并对问题进行反复地、持续地分析与探究，引导学生进行反思性学习，来建构数学新知识和新方法．
关键词：特征和本质；数学教育：反思性教学
数学为反思提供了大量的思维内容，反思为数学建构了更完善的知识体系和思维方式，如何更好地促进二者的发展，将其应用到中小学数学教学，这就需要明确数学反思性教学的特征及本质，进行合理的教学设计，实现数学教学与反思的“共荣”．
1数学反思性教学的特征
数学反思性教学的特征，一方面继承并集中表现为“反思”本身的特性，另一方面由于教学主体的能动性和数学教学活动的多样性，使得其同时呈现出～定的教育性，故主要体现为以下5点：反身性、回顾性、内省性、深究性、反诘性．
1。1反身性
反身性，来源于反身抽象意义上的反思特点，即“总是返回去思索”，在教学中常常指返回到“问题本身”、返回到“事物原型”上进行思考，表现为反身联想、反身观察、反身质疑、反身归纳、反身概括和反身抽象等几个方面，体现在教学中，就是教师利用“RMI”思想进行教学的过程．如概念的形成过程可以看成是通过人脑机制活动完成的映射，于是概念便是事物原像（对象及关系）的映像利用概念思维（包括逻辑分析推理）得出的结论，返回到事物原型上去解决问题，这可以理解为一种反演过程[1]．
具体而言，对于“余数概念”和“有余除法概念的学习”，教师可以通过呈现实际情境问题一一分豆子：7颗豆子平均放入3个盘子，每个盘子放几颗？分剩下来有几颗？让学生对豆子进行分装的动作中，抽象出“余数”的概念就是剩余的不能够再分的豆子数；而对于盘子里试着放几颗豆子的做法就是“试商”的过程，这样对于返回实际问题所进行的抽象思考，就使得学生经历了从实物到算式的反身抽象，同时又完成了从算式回到寻找实物“意义”的解释过程，即建构了“余数概念”的意义．
1。2回顾性
回顾性，来源于反思中“反”的本体意义，就是回顾已经发生的事情或过程，表现为回顾往事、回顾知识、回顾方法、回顾活动过程，体现在反思性的教学过程中，就是教师启发学生对于所学知识进行有目的地回忆，并从中确立与当前教学内容相关的联系．
这一特征在教学中比较常见，如解题教学对题意的解读过程，教师就需要不断地引导学生对问题进行回顾性地分析，回顾条件中所涉及的知识，回顾与问题类似的解决方法，等等；在概念教学中，有些概念的学习必须进行回顾性的反思方能展开，如对于长方体的概念，学习者必须激活与之相关的一系列先前学习过的概念（如图1），并对现实生活中有长方体物体的再现回顾，从中找出长方体与平行六面体、直平行六面体的差异，然后再对长方体所涉及的诸定义性特征进行分析、合取，进而对长方体可能具有的性质进行猜测和推论，最后整合长方体的性质，形成长方体概念的图式．如果在教学过程中，教师没有启发学生完成如上的回顾反思，学习者就无法利用这些知识形成长方体的概念，
图1长方体的概念“回顾”
1。3内省性
内省性，指在自己的心理内部对已有的思考进行反思，及自我反思、内部反思，体现在数学教学中，指学生对已有的学习结果和过程进行自我审查，发现错误加以改正，并从中总结经验教训．如教师对学生作业的批改过程中，可以有意识地“只批不改”，让学生对于错误结果进行自我反思，完成改正．
1。4深究性
深究性，借鉴反省思维中探究之意和教学的互动性，指的是深入思考过程，即不断地反思、反复反思、层层推进，强调了思考的“反复”性，表现在反思性教学中，就是对问题的解决进行持之以恒的探究．如“抛物线及其标准方程”第一课时的教学中，教师通过对动点轨迹的反复思考、不断反思，帮助学生“层层接近”抛物线的标准方程．
【深究1】师：当e=l时，又是什么曲线呢？
生：抛物线！
【深究2]师：好，你怎么知道它就是抛物线，能说出理由吗？（学生满脸疑问地摇了摇头）那么在解析几何中，通常是用什么方法研究曲线的？
生：坐标法，
【深究3]师：好，那么首先画出定点F和直线，，对此大家想想看，F和，的位置关系有几种可能，应该怎样画？严格地说有两种可能：点在直线上，点在直线外．当F在直线上时，你能发现点的轨迹是什么？
生：是过该点且垂直于已知直线，的直线．
【深究4]生：x2－2py+p2=0。
师：这是什么曲线的方程？
生：抛物线，因为它可以化为y=
，就是初中常见的二次函数，所以就是抛物线的方程．
【深究5]师：你能不能通过对已建坐标性的修改，让上面的抛物线也变得最简？
生：把x轴向上平移
个单位，也就是以垂线段的中点为原点．
师：显然x2=2py（p0）这种方式更为简单，实际上它就是做抛物线的标准方程，叫做它的焦点，直l做它的准线，方程是y=
．看来坐标系可以自己选，那么能不能把），轴正向取向下，x轴正向取向左，应该也有同样的结论，所以请大家自己计算一下其它形式的抛物线的标准方程．
在上述案例中，教师没有按照教科书直接给出标准方程所需要的坐标系，而是让学生对动点的轨迹进行不断地思考，如一开始就提出“这又是什么曲线呢？”到“你能发现点的轨迹是什么呢？”再到“这是什么曲线的方程呢？”都是同一个问题的反复思考，通过对这些思考的解答，就层层推进了认识，让学生感受到了所谓抛物线“标准”方程的特殊性，它的标准体现在选取了一个合适的坐标系，才使方程得以简化，这样就帮助学生理解了抛物线及其标准方程的概念和意义．
1。5反诘性
反诘性，借鉴哲学意义上的反思特点，表现在反思性教学过程中，就是一种“追问思想”的体现，即追寻学习过程中的漏洞，反问知识中的“陌生”信息，追问事实成立的依据，这有些与苏格拉底的对话法相似，“他教年轻人要在似乎无需证明的命题中找出矛盾，使他们困惑，引导他们反复思考、探索和质问，还不准他们闭而不答”．如上述案例中“你怎么知道它就是抛物线，能说明理由吗？”就是一种典型的追问，它引起学生对“动点轨迹”的直接反思性学习活动．
2数学反思性教学的本质
通过数学反思性教学的特征归纳，可以把数学反思性教学看作是一种分析式教学、一种建构式教学、一种问题式教学．
2。1数序反思性教学是一种分析式教学
分析，指把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的联系，反思性教学中，师生常常开始予他们所体验到的一种困难、麻烦的事件和不能马上解决的问题，对于这个麻烦或困难的解决，可以采用“数学分析”法，即通过对这些问题的严格分解，不能期待外来的帮助，唯一的答案就在这些问题本身中，在它们的各个被分解的部分前提之中寻找．这就需要教师帮助学生在课堂中回头分析，回到问题中分析，回到自身经验中分析，
“回到问题中分析”就是用分析法认识问题，而在数学教学中的问题基本以“新的知识”和“新的方法”为主要内容，而“新”的特征就容易引起学习中的认知冲突，解决的方法，就是把“新”的知识和方法分解为“旧”认识，如在函数概念的教学中，关键是帮助学生把握函数本质的属性，就是说要把含有“数集到数集上的对应”、“随处定义”和“单值定义”特征的函数实例呈现给学生，让学生对其进行抽象、概括，得出函数不变的性质就是“数集到数集的映射”，而与其是否有解析式并没有直接关系．
“回到自身经验中分析”就是对所经历的教学活动进行分析思考，如对于什么样的问题难以理解？该采取什么样的方法进行教学和学习？是否有过相同的教学和学习经历？这需要教师指导学生借助发展逻辑推理的技能和仔细推敲的判断以及支持反思的态度，对自身的活动展开分析．
2。2数学反思性教学是一种建构式教学
建构主义观下的教学，要求学生通过高水平的思维活动来建构意义，学习者要不断思考和对各种信息进行加工转换，基于新经验与旧经验进行综合和概括去建构知识，这种“建构”包含两方面的含义：（1）对新知识的理解是通过运用已有经验，超越所提供的新信息建构而成；（2）从记忆系统中所提取的信息本身也要按具体情况进行建构，而不仅仅是提取．建构一方面是对新知识意义的建构，即“结果”的“新”是一种“意义上的理解”；另一方面是对原有经验的改造和重组，即“过程”是一种新旧经验的“整合”过程，数学反思性教学就是教师利用“反思”帮助学生完成上述建构过程．
2。2。1知识建构
因为课本知识并不是对现实的准确表征，只是一种假设而解释世界的“模板”，知识不能灌输、强加，要靠学生以自己的经验、信念对新知识分析、检验和批判．这就需要教师利用必要的学习材料，针对知识的不同侧面，创设一定的教学情境和活动，使知识与具体情景相联系，这样学生就可以结合自身的经验，通过多角度地反思学习材料，”理解”和“消化”教师所讲的内容，将其纳入到自己适当的认知结构中去，用自己的语言对其重新编码，并在两者之间建立联系，从而形成新知识的建构，
具体而言，知识建构包括对知识点的建构和对知识体系的建构，知识点的建构依托于先前的知识点，是先前知识经过一级或多级抽象的产物，因而知识点的建构是建立在知识体系结构基础上的．如对于数学概念的学习，都是由最初不加定义或源于现实模糊抽象的概念作为第一级概念，之后每一级概念都借助前面的各级概念进行反思，从中逐步抽象形成多层次的`概念结构．
2。2。2方法建构
方法建构，顾名思义就是方法的建立和构造，与知识建构一样，每个人面对同样的问题，可能因认知结构的不同、经验水平的差异而选用不同的方式解决问题，从而形成不同方法，所以对于方法的掌握，不是学来的，而是“做”出来的，是在用方法解决问题的过程中总结概括而成．
首先，教师指导学生对教学过程中遇到的问题进行反思性的分析，从中选择合适的方法，这里所谓反思性的分析，主要就是对问题进行“简化和转化”，通过分解和变形等过程，抓住问题的关键与本质，将其化繁为简、化难为易、化新为旧，其目的就是找到问题的突破口，确立相应的方法，
其次，教师指导学生解决问题，在实践中验证方法，这时需要反思对问题解决过程实施自我调控，教师要帮助学生不断监视和判断自己的进展以及与目标的差距，采用各种增进理解和帮助思考、解决问题的策略，对解题活动进行阶段反思和整体反思，及时修正方法、调整策略，完成构想方法的实施．
最后，教师要及时地指导学生对问题进行总结，从中概括方法，至此完成方法的建构，这个过程中，学生应该有意识地对解决问题的过程进行回顾，“是否遇到困难？”“采用什么方法解决的？”并对所采用的方法进行总结，“这个方法有什么特点？”“它适用于什么样的问题？”等，
总而言之，一种方法的建构本质上是“用方法”建构“方法”的过程，正如Napier所发明的对数方法就是应用“RMI”方法进行的一种建构，他在对指数运算与真数运算的对应法则进行分析后，认为它们具有映射与反演的关系，进而把前者的计算任务转化为后者的计算任务，从而大大提高了数值计算的效率．
2。3数学反思性教学是一种问题式教学
问题教学，同系统教学相对，它是依据“实验逻辑”的“反省思维”的学说，教师针对儿童在生活、活动中遇到的困难、提出的问题，帮助他们分析问题、寻求假设，进行实验研究，以求解决问题的方法．简单地说，问题式教学是指带有问题性的教学．
从教学内容看，问题教学围绕“问题”展开教学，并以获得知识附属于发展思维的观点，指导学生解决问题；反思性教学围绕教学活动中的问题进行探究思考和解决．前者的问题，包括学生自己独立解决看到的问题，或者在教师的帮助下解决问题；后者的问题，包括教师“教”的问题和学生“学”的问题，两者对问题的表述不同，但本质上都是以“问题”为核心进行教学．
从教学过程看，运用问题教学法时，大致经历4个过程：①创设问题的情境，使学生觉得问题与自己有密切关系，以唤起对问题的兴趣和对解决问题的努力；②提出解决问题的假设；③从理论上和实践上检验假设；④做出明确的认识结论．其中问题必须提得恰当，有一定的难度，能引起学生的认识兴趣，学生凭借以前的知识和经验，经过一番深思熟虑才能解决．而反思性教学以反思“提出问题一探讨研究一解决问题”实施教学过程，这与问题教学的流程几乎一致，
从教学活动来看，问题教学试图打破传统的教学方式，改变学生处于被动的地位，使他们主动地学习，这就需要创设一定的教学活动，让学生活跃在课堂教学的气氛中，把注意力集中到关键问题上，使学生有重点地领会、掌握教学内容，并重视能力的培养．而反思性教学中，教学活动是引起师生反思的主要手段，尤其是带有探究性质的活动，使得反思的内容和结果富有实际意义，可见，“活动”是反思性教学与问题教学的主要手段．
所以“问题教学”是反思性教学的本质之一，而且在反思性教学中，通过以“知识的学习”为载体的“问题解决”方式，达到“思维发展”的目的，因此数学反思性教学是一种通过反思解决数学问题的教学活动．
综上所述，数学反思性教学的本质就是教师从学生已有数学知识进行“反思”，产生新的数学问题，并对问题进行反复地、持续地分析与探究，引导进行反思性学习，来建构数学新知识和新方法．
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