对数函数课件

2021-03-18 课件

　　对数的定义：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。下面是小编分享给大家的对数函数课件，希望对大家有帮助。

　　教学目标：

　　使学生掌握对数形式复合函数的'单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.

　　教学重点：

　　复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.

　　教学难点：

　　复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.

　　教学过程：

　　［例1］设loga23 ＜1，则实数a的取值范围是

　　A.0＜a＜23 B. 23 ＜a＜1

　　C.0＜a＜23 或a＞1D.a＞23

　　解：由loga23 ＜1＝logaa得

　　(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜23

　　(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞23 ，∴a＞1

　　综合（1）(2)得：0＜a＜23 或a＞1 答案：C

　　［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是

　　A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76

　　C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7

　　解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0 答案：D

　　［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小

　　解法一：作差法

　　|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| lg（1－x）lga |－| lg（1+x）lga |

　　＝1|lga| (|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)

　　∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x

　　∴上式＝－1|lga| [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－1|lga| lg(1－x2)

　　由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－1|lga| lg(1－x2)＞0，

　　∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|

　　解法二：作商法

　　lg(1+x)lg(1－x) ＝|log(1－x)(1+x)|

　　∵0＜x＜1 ∴0＜1－x＜1+x

　　∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)11＋x

　　由0＜x＜1 ∴1+x＞1，0＜1－x2＜1

　　∴0＜(1－x)(1+x)＜1 ∴11＋x ＞1－x＞0

　　∴0＜log(1－x) 11＋x ＜log(1－x)(1－x)＝1

　　∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

　　解法三：平方后比较大小

　　∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]

　　＝loga(1－x2)loga1－x1＋x ＝1|lg2a| lg(1－x2)lg1－x1＋x

　　∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜1－x1＋x ＜1

　　∴lg(1－x2)＜0，lg1－x1＋x ＜0

　　∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)

　　即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|

　　解法四：分类讨论去掉绝对值

　　当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|

　　＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)

　　∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1

　　∴loga(1－x2)＜0， ∴－loga(1－x2)＞0

　　当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0

　　∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0

　　∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|

　　［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.

　　解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.

　　当a2－1≠0时，其充要条件是：

　　a2－1＞0△＝（a＋1）2－4（a2－1）＜0 解得a＜－1或a＞53

　　又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.

　　所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（53 ，+∞）

　　［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小

　　解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）

　　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(34 x).

　　①当x＞1时，若34 x＞1，则x＞43 ，这时f(x)＞g(x).

　　若34 x＜1，则1＜x＜43 ，这时f(x)＜g(x)

　　②当0＜x＜1时，0＜34 x＜1，logx34 x＞0，这时f(x)＞g(x)

　　故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（43 ，+∞）时，f(x)＞g(x)

　　当x∈（1，43 ）时，f(x)＜g(x)

　　［例6］解方程：2 (9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]

　　解：原方程可化为

　　(9x－1－5)＝ [4（3x－1－2）]

　　∴9x－1－5＝4(3x－1－2) 即9x－1－43x－1+3＝0

　　∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0 ∴3x－1＝1或3x－1＝3

　　∴x＝1或x＝2 经检验x＝1是增根

　　∴x＝2是原方程的根.

　　［例7］解方程log2（2-x－1） (2-x+1－2)＝－2

　　解：原方程可化为：

　　log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2

　　即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2

　　令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0

　　解之得t＝－2或t＝1

　　∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1

　　解之得：x＝－log254 或x＝－log23

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