完全平方公式优秀教学设计

2021-07-01 教学设计

　　篇一：完全平方公式(1) 教学设计

　　【教材分析】

　　本节内容是初中数学（北师大版）七年级下册第一章《整式的运算》中的——1.8完全平方公式。

　　一、教材的地位和前后联系：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.

　　一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。

　　二、教材设计的思想方法：

　　教材按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识到本质认识。逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。由此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，它在本章中起着举足轻重的作用。

　　【学情分析】

　　1．认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。

　　2.活动经验基础：在平方差公式一节中，学生已经经历了探索与应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。

　　3. 心理特征：初中阶段的学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。【教学目标】

　　1、知识与技能：

　　体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算。

　　2、过程与方法：

　　通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。培养学生的数形结合能力。

　　3、情感态度价值观：

　　体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

　　【教学重点】

　　1、对公式的理解，包括它的推导过程、结构特点、语言表述（学生自己的语言）、几何解释。

　　2、会运用公式进行简单的计算。

　　【教学难点】

　　1、完全平方公式的推导及其几何解释。

　　2、完全平方公式的结构特点及其应用

　　【教学方法】“探究式学习”。

　　在教学中，突出学生的主动性、参与性，让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论，初步掌握探究的学习方法。

　　【学法指导】

　　积极参与交流探讨，从学习中感受乐趣，及时地归纳总结、发现问题、解决问题。

　　【教学课型】新授课

　　【课时安排】一课时

　　【教学过程】

　　一、复习旧知、引入新知

　　设计说明

　　问题1：请说出平方差公式，说说它的结构特点。

　　问题2：平方差公式是如何推导出来的？

　　问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明。

　　问题4：想一想、做一做，说出下列各式的结果。

　　（1

　　）（a+b）2 （2）（a-b）2

　　（此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还要继续激发学生的学习兴趣。）

　　二．创设问题情境、探究新知

　　设计说明

　　一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。（如图）

　　⑴ 四块面积分别为：、、、 ;

　　⑵ 两种形式表示实验田的总面积：

　　① 整体看：边长为的大正方形，S= ；

　　②部分看：四块面积的和，S= 。

　　a b

　　总结：通过以上探索你发现了什么？

　　问题1：通过以上探索学习，同学们应该知道我们提出的问题4正确的结果是什么了吧？

　　2 问题2：如果还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，继续探索。（a+b）表示的意义是什么？请你用多项式的乘法法则加以验证。

　　（教学过程中教师要有意识地提到猜想、感觉得到的不一定正确，只有再通过验证才能得出真知，但还是要鼓励学生大胆猜想，发表见解，但要验证）

　　问题3：你能说说（a+b）2=a2+2ab+b2

　　这个等式的结构特点吗？用自己的语言叙述。

　　（结构特点：右边是二项式（两数和）的平方，右边有三项，是两数的平方和加上这两数乘积的二倍）

　　问题4：你能根据以上等式的结构特点说出（a-b）2等于什么吗？请你再用多项式的乘法法则加以验证。

　　总结：我们把（a+b）2=a2+2ab+b2 （a–b）2=a2–2ab+b2称为完全平方公式。

　　问题：① 这两个公式有何相同点与不同点？

　　② 你能用自己的语言叙述这两个公式吗？

　　（学生交流，教师归纳总结：）

　　语言描述：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的２倍。

　　强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加来差是减。

　　〈三〉、例题讲解，巩固新知

　　例1：利用完全平方公式计算

　　设计说明

　　（1）（2x－3）2 （2）（4x+5y）2 （3）（mn－a）2

　　解：（2x－3）2 =（2x）2 －2〃(2x)〃3＋32

　　= 4x2－12x＋9

　　（4x+5y）2 =（4x）2 ＋2〃(4x)〃(5y)＋(5y)2

　　= 16x2＋40xy＋25y2

　　（mn－a）2 =（mn）2 －2〃(mn)〃a＋a2

　　= m2 n2 － 2mna ＋a2

　　交流总结：运用完全平方公式计算的一般步骤

　　（1）确定首、尾，分别平方；

　　（2）确定中间系数与符号，得到结果。

　　四、练习巩固

　　设计说明

　　练习1：利用完全平方公式计算

　　① (2x?3y)2 ② (2x?3y)2 (3)(-2t-1)2

　　练习2：利用完全平方公式计算

　　（1）（n＋1）2 －n2 （2）?ab?3x???3x?ab?

　　练习3：求?x?y??x?y???x?y?的值，其中x?5,y?2 2

　　（练习可采用多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价。也可学生独立完成后，学生互相批改，力求使学生对公式完全掌握，如有学生出现问题，学生、教师应及时帮助。）

　　五、变式练习

　　设计说明

　　篇二：《完全平方公式》的教学设计及反思

　　一、内容简介

　　本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。关键信息：

　　1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

　　2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。

　　二、学习者分析：

　　1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

　　①同类项的定义。

　　②合并同类项法则。

　　③多项式乘以多项式法则。

　　2、学生对将要习的内容已经具备的知识水平：

　　在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。

　　三、教学目标及其对应的课程标准：

　　（一）教学目标：

　　1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力。

　　2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

　　3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。

　　（二）知识与技能：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下基础。

　　（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；

　　（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。

　　（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的`讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。

　　四、教学重点；完全平方公式的准确应用。

　　五、教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算。

　　六、教育理念和教学方式：

　　1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。

　　2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。充分利用动手实践的机会，尽可能增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究。

　　3、教学评价方式：

　　（1）通过课堂观察，关注学生在观察、归纳、应用等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。

　　（2）通过判断和举例，给学生更多机会，反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

　　（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。

　　七、教学和活动过程：

　　〈一〉、提出问题

　　[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，

　　这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试:

　　(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，

　　〈二〉、分析问题

　　1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点

　　(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，

　　(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，

　　（1）原式的特点。两数和的平方。

　　（2）结果的项数特点。等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍

　　（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

　　（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。

　　2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：

　　两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；

　　初中数学的教学设计和反思

　　教师的教学能力包括教学设计能力、教学实施能力、教学反思能力，其中，教学设计能力和教学实施能力是教师的基本能力，教学反思能力则是教师教育能力的核心和进一步发展的关键。

　　3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍

　　(a+b)2=a2+2ab+b2；

　　(a-b)2=a2-2ab+b2.

　　4、完全平方公式的几何背景：

　　用不同的形式表示课本中图形的总面积并进行比较，你发现了什么？

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　你能运用公式计算下列各式吗?

　　(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。

　　(-2m-3n)2=______________，(-2m+3n)2=_______________。

　　上面各式的计算结果:

　　(-x-3)2=(-x)2-2·(-x)·3+32=x2+6xn+9___，

　　(-x+3)2=(-x)2+2·(-x)·3+32=x2-6x+9____。

　　(-2m-3n)2=(2m)2-2·(-2m)·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，

　　(-2m+3n)2=(2m)2+2·(-2m)·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2。

　　你从上面的计算结果中发现了什么规律?根据这个规律,完全平方公式又如何叙述?

　　〈三〉、运用公式，解决问题

　　1、口答：（抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）

　　(m+n)2=____________, (m-n)2=_______________,

　　(-m+n)2=____________, (-m-n)2=______________,

　　(a+3)2=______________, (-c+5)2=______________,

　　(-7-a)2=______________, (0.5-a)2=______________.

　　2、判断：

　　( )① (a-2b)2= a2-2ab+b2

　　( )② (2m+n)2= 2m2+4mn+n2

　　( )③ (-n-3m)2= n2-6mn+9m2

　　( )④ (5a+0.2b)2= 25a2+5ab+0.4b2

　　( )⑤ (5a-0.2b)2= 5a2-5ab+0.04b2

　　( )⑥ (-a-2b)2=(a+2b)2

　　( )⑦ (2a-4b)2=(4a-2b)2

　　( )⑧ (-5m+n)2=(-n+5m)2

　　3、① (x+y)2 =______________;② (-y-x)2 =_______________;

　　③ (2x+3)2 =_____________;④ (3a-2)2 =_______________;

　　⑤(4x-5y)2 =______________;⑥ (0.5m+n)2 =___________;

　　〈四〉、[学生小结]

　　你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？

　　(1) 公式右边共有3项。

　　(2) 两个平方项符号永远为正。

　　(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。

　　(4)中间项是等号左边两项乘积的2倍。

　　〈五〉、练习填空

　　（1）（-3a+2b）2=________________________________

　　（2）(-5-m) 2 =__________________________________

　　（3）(-0.5m+2n) 2=_______________________________

　　（4）(3/5a-1/2b) 2=________________________________

　　（5）(mn-3)2=__________________________________

　　（6）(ab3-1.5)2=_________________________________

　　（7）(2xy2+x2y) 2=_______________________________

　　（8）(2n3-4m2)=________________________________

　　〈六〉、自我评价

　　[小结] 通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？

　　本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。

　　八、教后反思

　　本节课上学生体会了数形结合及转化的数学思想，并知道猜想的结论必须要加以验证；授课思维流畅，知识发生发展过渡自然，学生容易得到一些结论但在老师的引导下又使问题的探讨得以不断深入，学生思考积极、气氛活跃，教学效果较好。采用以小组自主探究的学习方式，同时各小组展开激烈的比赛。整节课都在紧张而愉快的气氛中进行。学生非常活跃。人人都能积极参与。先从代数式的几何意义出发，激发学生的图形观，利用拼图的方法，使学生在动手的过程中发现规律，并通过小组合作，探究归纳公式，然后强调数值的计算，使学生掌握公式的计算技巧。从而突出以学生为主体的探索性学习原则。让学生自编符合完全平方公式和平方差公式结构的计算题，从而有效地将两类公式区分开，深刻认识公式的结构特征，并大大激发了学生的学习积极性。

　　同时课后感觉应该引导学生用文字概括公式的内容，从而培养学生抽象的数学思维能力和语言表达能力。对需要帮助的学生进行针对性的个别指导较少。对于学生计算中存在的问题应让学生自己纠错，教师不应全权代劳。如利用两数和的公式计算环节，两位学生分别讲述自己的想法之后，教师应该让全体学生根据其方法进行计算，自主验证，即使有些学生写不出来，也会因为经过思考而印象深刻，如果为了节省时间教师自己代劳，那样就不能够充分体现学生的主体作用，而且效果也较前者差些。

　　在今后的教学中应注意从以下几个方面改进：

　　1、在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式，法则道理的基础上进行记忆，比如：我们要借助面积图形对完全平方公式做直观说明。

　　2.必须强调学生时刻把握公式的特征及用途:

　　特征:左边是两个相同的二项式相乘,右边是一个三项式,其中两项是二项式中每一项的平方和,另一项是二项式中项的乘积的2倍或其相反式。用途:用于解决两个完全相同的二项式乘积运算. 应在课堂上大力推行边启发、边探索、边归纳,突出以学生为主体的探索性学习原则..既讲“法”,又讲“理”:在教学中要讲法则、公式的应用,也要讲公式的推导,使学生在理解公式,法则道理的基础上进行记忆,比如:我们要借助面积图形对完全平方公式做直观说明.

　　3.讲联系、讲对比、讲特征.学生在运用公式时出现的错误,其原因是把完全平方公式和旧知识及分配律弄混淆,要善于排除新旧知识间互相干扰的作用. 规范板书。每节课的板书尽量坚持做到三保留：重要知识点保留，典型例题保留，学生易错点保留。

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